Quan sát Hình 26.

a) Cho biết đường thẳng a và đường tròn (O; R) có bao nhiêu điểm chung.

b) So sánh độ dài đoạn thẳng OH và R.

Trong Hình 25, cột thẳng đứng và biển quảng cáo có dạng hình tròn gợi nên hình ảnh của đường thẳng và đường tròn không giao nhau. Theo em, đường thẳng và đường tròn không giao nhau thì chúng có điểm chung hay không?

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3 cm, BC = 5 cm. Đường thẳng AB có tiếp xúc với đường tròn (C; 4 cm) hay không? Vì sao?

Trong bức ảnh ở Hình 22, đường ray và bánh xe gợi nên hình ảnh đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau. Theo em, đường thẳng và đường tròn đó có bao nhiêu điểm chung?

Hãy chỉ ra một số hiện tượng trong thực tiễn gợi nên hình ảnh của đường thẳng và đường tròn cắt nhau.

Quan sát Hình 20.

a) Cho biết đường thẳng a và đường tròn (O; R) có bao nhiêu điểm chung.

b) So sánh độ dài đoạn thẳng OH và R.

Vị trí của Mặt Trời so với đường chân trời (Hình 19) gợi nên hình ảnh vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.

Làm thế nào để xác định được vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn?

Cho hai đường tròn cùng tâm (O; R), (O; r) với R > r. Các điểm A, B thuộc đường tròn (O; R), các điểm A’ B’ thuộc đường tròn (O; r) sao cho O, A, A’ thẳng hàng; O, B, B’ thẳng hàng và điểm O không thuộc đường thẳng AB. Chứng minh:

a) OA′OA=OB′OB;

b) AB // A’B’.

Cho đường tròn (O; R) và dây AB khác đường kính. Gọi M là trung điểm của AB.

a) Đường thẳng OM có phải là đường trung trực của đoạn thẳng AB hay không? Vì sao?

b) Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB, biết R = 5 cm, AB = 8 cm.

Chiếc đồng hồ trang trí ở Hình 18 gợi nên vị trí tương đối của các đường tròn.

Quan sát Hình 18 và chỉ ra một cặp đường tròn:

a) Cắt nhau;

b) Tiếp xúc ngoài;

c) Tiếp xúc trong;

d) Không giao nhau.

Cho đường tròn (O; R) và dây AB = R. Tính số đo góc AOB.

Cho đoạn thẳng MN và đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng MN. Điểm O thuộc đường thẳng a.

a) Vẽ đường tròn tâm O bán kính R = OM.

b) Chứng minh điểm N thuộc đường tròn (O; R).

Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O’) trong mỗi hình 17a, 17b, 17c, 17d:

Trong Hình 16, có ba đường tròn với các đường kính lần lượt là AB, AC, CD. Hãy sắp xếp độ dài ba đoạn thẳng AB, AC, CD theo thứ tự tăng dần và giải thích kết quả tìm được.

Cho hai đường tròn (O; 11,5 cm) và (O’; 6,5 cm). Biết rằng OO’ = 4 cm. Xét vị trí tương đối của hai đường tròn đó.

Hình 14 mô tả hai bánh xe rời nhau, gợi nên hình ảnh hai đường tròn không giao nhau. Theo em, hai đường tròn không giao nhau thì có bao nhiêu điểm chung?

Cho hai đường tròn (O; 2,5 cm) và (O’; 4,5 cm). Tìm độ dài đoạn thẳng OO’, biết hai đường tròn đó tiếp xúc trong.

Hình 12 mô tả các ống tròn xếp lên nhau và gợi nên hình ảnh các cặp đường tròn tiếp xúc nhau. Theo em, hai đường tròn tiếp xúc nhau thì chúng có bao nhiêu điểm chung?

Cho hai đường tròn (O; 14 cm), (O’; 5 cm) với OO’ = 8 cm. Hỏi hai đường tròn đó có cắt nhau hay không?

Bạn Đan vẽ năm vòng tròn minh họa cho biểu tượng của Thế vận hội Olympic như ở Hình 10. Hình vẽ đó thể hiện những cặp đường tròn cắt nhau. Theo em, hai đường tròn cắt nhau thì chúng có bao nhiêu điểm chung?

Bạn Hoa có một tờ giấy hình tròn. Nêu cách gấp giấy để xác định tâm của hình đó.

Cho đường tròn (O; R). Giả sử d là đường thẳng đi qua tâm O, M là một điểm tùy ý trên đường tròn (O; R). Kẻ MH vuông góc với d tại H. Trên tia MH lấy điểm N sao cho H là trung điểm của MN (ta gọi điểm N là điểm đối xứng với điểm M qua đường thẳng d). Điểm N có thuộc đường tròn (O; R) hay không?

Cho đường tròn (O; R).

a) Vẽ đường thẳng d đi qua tâm O cắt đường tròn tại A, B. So sánh OA và OB (Hình 7).

b) Giả sử M là một điểm tùy ý trên đường tròn (O; R). Trên tia đối của tia OM, ta lấy điểm N sao cho ON = OM. Điểm N có thuộc đường tròn (O; R) hay không?

Cho tam giác nhọn ABC. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh MN < BC.

Quan sát Hình 5.

a) So sánh MN và OM + ON.

b) So sánh MN và AB.

Hãy chỉ ra một số đồ vật trong thực tiễn gợi nên hình ảnh của đường tròn.

Đồng hồ được mô tả ở Hình 2 có kim phút dài 12 cm. Khi kim phút quay một vòng thì đầu mút của kim phút vạch nên đường gì?

Mỗi bánh xe đạp ở Hình 1 gợi nên hình ảnh của một đường tròn.

Hai đường tròn đó có điểm chung hay không?

Một người đứng ở vị trí B trên bờ sông muốn sử dụng la bàn để ước lượng khoảng cách từ vị trí đó đến một vị trí A ở trên một cù lao giữa dòng sông. Người đó đã làm như sau:

– Sử dụng la bàn, xác định được phương BA lệch với phương Nam – Bắc về hướng Đông 52°.

– Người đó di chuyển đến vị trí C, cách B một khoảng là 187 m. Sử dụng la bàn, xác định được phương CA lệch với phương Nam – Bắc về hướng Tây 27°; CB lệch với phương Nam – Bắc về hướng Tây 70° (Hình 42).

Em hãy giúp người đó tính khoảng cách AB từ những dữ liệu trên (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).

Trong trò chơi xích đu ở Hình 41, khi dây căng xích đu (không dãn) OA = 3 m tạo với phương thẳng đứng một góc là $\widehat{AOH}=43°$ thì khoảng cách AH từ em bé đến vị trí cân bằng là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Cho hình thoi ABCD có AB = a, $\widehat{BAD}=2\alpha \left(0°<\alpha <90°\right).$ Chứng minh:

a) BD = 2a.sinα;

b) AC = 2a.cosα.

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH và $\hat{B}=\alpha$ (Hình 40).

a) Tỉ số $\frac{HA}{HB}$ bằng

A. sinα.

B. cosα.

C. tanα.

D. cotα.

b) Tỉ số $\frac{HA}{HC}$ bằng

A. sinα.

B. cosα.

C. tanα.

D. cotα.

c) Tỉ số $\frac{HA}{AC}$ bằng

A. sinα.

B. cosα.

C. tanα.

D. cotα.

Trên mặt biển, khi khoảng cách AB từ ca nô đến chân tháp hải đăng là 250 m, một người đứng trên tháp hải đăng đó, đặt mắt tại vị trí C và nhìn về phía ca nô theo phương CA tạo với phương nằm ngang Cx một góc là $\widehat{ACx}=32°$(Hình 39). Tính chiều cao của tháp hải đăng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét), biết AB // Cx và độ cao từ tầm mắt của người đó đến đỉnh tháp hải đăng là 3,2 m.

Một mảnh gỗ có dạng hình chữ nhật ABCD với đường chéo AC = 8 dm. Do bảo quản không tốt nên mảnh gỗ bị hỏng phía hai đỉnh B và D. Biết $\widehat{BAC}=64°$ (Hình 38). Người ta cần biết độ dài AB và AD để khôi phục lại mảnh gỗ ban đầu. Độ dài AB, AD bằng bao nhiêu decimét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Người ta cần ước lượng khoảng cách từ vị trí O đến khu đất có dạng hình thang MNPQ nhưng không thể đo được trực tiếp, khoảng cách đó được tính bằng khoảng cách từ O đến đường thẳng MN. Người ta chọn vị trí A ở đáy MN và đo được OA = 18 m, $\widehat{OAN}=44°$ (Hình 37). Tính khoảng cách từ vị trí O đến khu đất (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét).

Để ước lượng chiều cao của một cây trong sân trường, bạn Hoàng đứng ở sân trường (theo phương thẳng đứng), mắt bạn Hoàng đặt tại vị trí C cách mặt đất một khoảng CB = DH = 1,64 m và cách cây một khoảng CD = BH = 6 m. Tính chiều cao AH của cây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét), biết góc nhìn ACD bằng 38° minh hoạ ở Hình 36.

Hình 35 mô tả ba vị trí A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông và không đo được trực tiếp các khoảng cách từ C đến A và từ C đến B. Biết AB = 50 m, $\widehat{ABC}=40°.$ Tính các khoảng cách CA và BC (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).

Mặt cắt đứng của khung thép có dạng tam giác cân ABC với $\hat{B}=23°,$ AB = 4 m (Hình 33). Tính độ dài đoạn thẳng BC (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét).

Hãy giải bài toán ở phần mở đầu và tính AB trong Hình 29b (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét).

Hình 28 minh họa một máy bay cất cánh từ vị trí A trên đường băng của sân bay và bay theo đường thẳng AB tạo với phương nằm ngang AC một góc là 20°. Sau 5 giây, máy bay ở độ cao BC = 110 m.

Có thể tính khoảng cách AB bằng cách nào?