Bài 1.21 trang 39 Toán 11 Tập 1

Câu hỏi:

80 lượt xem

Tự luận

Bài 1.21 trang 39 Toán 11 Tập 1: Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu v0 = 500 m/s hợp với phương ngang một góc α. Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình $y = \frac{- g}{2 v_{0}^{2} \cos^{2} α} x^{2} + x \tan α$ , ở đó g = 9,8 m/s2 là gia tốc trọng trường.

a) Tính theo góc bắn α tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm quả đạn chạm đất).

b) Tìm góc bắn α để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m.

c) Tìm góc bắn α để quả đạn đạt độ cao lớn nhất.

Xem đáp án

Xem thêm: Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Vì v0 = 500 m/s, g = 9,8 m/s2 nên ta có phương trình quỹ đạo của quả đạn là

$y = \frac{- 9,8}{{2.500}^{2} . \cos^{2} α} x^{2} + x \tan α$ hay $y = \frac{- 49}{2 500 000 \cos^{2} α} x^{2} + x \tan α$ .

a) Quả đạn chạm đất khi y = 0, khi đó $\frac{- 49}{2 500 000 \cos^{2} α} x^{2} + x \tan α = 0$

$\Leftrightarrow x (\frac{- 49}{2 500 000 \cos^{2} α} x + \tan α) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{2 500 000 \cos^{2} α . \tan α}{49} \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{2 500 000 \cos α . \sin α}{49} \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{1 250 000 \sin 2 α}{49} \end{array}$

Loại x = 0 (đạn pháo chưa được bắn).

Vậy tầm xa mà quả đạn đạt tới là $x = \frac{1250000 \sin 2 α}{49}$ (m).

b) Để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m thì x = 22 000 m.

Khi đó $\frac{1250000 \sin 2 α}{49} = 22 000$ ⇔ sin 2α = $\frac{539}{625}$

Gọi $β \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ là góc thỏa mãn $\sin β = \frac{539}{625}$ . Khi đó ta có: sin 2α = sin β

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 α = β + k 2 π \\ 2 α = π - β + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} α = \frac{β}{2} + k π \\ α = \frac{π}{2} - \frac{β}{2} + k π \end{array} (k \in ℤ)$ .

c) Hàm số $y = \frac{- 49}{2 500 000 \cos^{2} α} x^{2} + x \tan α$ là một hàm số bậc hai có đồ thị là một parabol có tọa độ đỉnh I(xI; yI) là

$\{\begin{cases} x_{I} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{\tan α}{2. \frac{- 49}{2 500 000 \cos^{2} α}} = \frac{1 250 000 \cos α \sin α}{49} \\ y_{I} = f (x_{I}) = \frac{- 49}{2 500 000 \cos^{2} α} {(\frac{1 250 000 \cos α \sin α}{49})}^{2} + \frac{1 250 000 \cos α \sin α}{49} \tan α \end{cases}$

Hay $\{\begin{cases} x_{I} = \frac{1 250 000 \cos α \sin α}{49} \\ y_{I} = \frac{625 000 \sin^{2} α}{49} \end{cases}$

Do đó, độ cao lớn nhất của quả đạn là $y_{\max} = \frac{625 000 \sin^{2} α}{49}$ .

Ta có $y_{\max} = \frac{625 000 \sin^{2} α}{49} \leq \frac{625 000}{49}$ , dấu “=” xảy ra khi sin2 α = 1 hay α = 90°.

Như vậy góc bắn α = 90° thì quả đan đạt độ cao lớn nhất.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Câu hỏi:

Lời giải

Hướng dẫn giải:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM