Câu hỏi:

77 lượt xem
Tự luận

Bài 3.16 trang 44 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng:

a) cosAMB^+cosAMC^=0;

b) MA2 + MB2 – AB2 = 2MA.MB.cosAMB^ và MA2 + MC2 – AC2 = 2MA.MC.cosAMC^;

c) MA2=2AB2+AC2BC24 (công thức đường trung tuyến).

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Lời giải:

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng (ảnh 1)

a) Ta có: AMB^+AMC^=180o

 AMC^=180oAMB^

 cosAMB^=cos180oAMB^=cosAMC^

 cosAMB^+cosAMC^=cosAMC^+cosAMC^=0

Vậy cosAMB^+cosAMC^=0 (đpcm)

b) Áp dụng định lí côsin trong ΔAMB, ta có:

AB2 = MA2 + MB2 – 2MA.MB.cosAMB^ 

 MA2 + MB2 – AB2 = 2MA.MB.cosAMB^ (1)

Áp dụng định lí côsin trong ΔAMC, ta có:

AC2 = MA2 + MC2 – 2MA.MC.cosAMC^

 MA2 + MC2 – AC2 = 2MA.MC.cosAMC^ (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

c) Từ (1) suy ra: MA2 = AB2 – MB2 2MA.MB.cosAMB^

Từ (2) suy ra: MA2 = AC2 – MC2 2MA.MC.cosAMC^

Cộng vế với vế, ta được:

2MA2 = (AB2 – MB2 2MA.MB.cosAMB^) + (AC2 – MC2 2MA.MC.cosAMC^)

2MA2 = AB2 AC2 – MB2 – MC2 2MA.MB.cosAMB^ 2MA.MC.cosAMC^

 MB=MC=BC2(do AM là trung tuyến) nên:

2MA2 = AB2 AC2 – BC22 – BC22 2MA.MB.cosAMB^ 2MA.MB.cosAMC^

2MA2 = AB2 AC2 – 2.BC22 2MA.MB.(cosAMB^ cosAMC^)

2MA2 = AB2 AC2 – BC22

 MA2=AB2+AC2BC222

MA2=2AB2+AC2BC24 (công thức đường trung tuyến).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ