Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;0;5\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(1;3;9\right)$.

a) Biểu diễn hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ qua các vectơ đơn vị $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$.

b) Biểu diễn hai vectơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ và $2\overrightarrow{a}$ qua các vectơ đơn vị $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$, từ đó xác định tọa độ của hai vectơ đó.

Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow{u}=\left(1;8;6\right),\overrightarrow{v}=\left(-1;3;-2\right)$ và $\overrightarrow{w}=\left(0;5;4\right)$. Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}$.

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có $A\left(x_A;y_A;z_A\right),B\left(x_B;y_B;z_B\right)$ và $C\left(x_C;y_C;z_C\right)$.

a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tìm tọa độ của M theo tọa độ của A và B.

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm tọa độ của G theo tọa độ của A và B và C.

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left(2;9;-1\right),B\left(9;4;5\right)$ và $G\left(3;0;4\right)$. Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC nhận G là trọng tâm.

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(x; y; z\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(x^{\text{'}}; y^{\text{'}}; z^{\text{'}}\right)$

a) Giải thích vì sao $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{i}=1$và $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{i}. \overrightarrow{k}=0$

b) Sử dụng biểu diễn $\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ để tính các tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{i}; \overrightarrow{a}. \overrightarrow{j}; \overrightarrow{a}. \overrightarrow{k}$

c) Sử dụng biểu diễn $\overrightarrow{b}=x^{\text{'}}\overrightarrow{i}+y^{\text{'}}\overrightarrow{j}+z^{\text{'}}\overrightarrow{k}$ để tính tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$

Trong ví dụ 3, tính ${\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2$

Trong không gian Oxyz, cho A(0; 2; 1), B(3; -2; 1) và C(-2; 5; 7).

a) Tính chu vi của tam giác ABC.

b) Tính $\widehat{BAC}$

Với các giả thiết như trong Ví dụ 5, hãy xác định tọa độ của các chiếc máy bay sau 10 phút tiếp theo (tính từ thời điểm máy bay ở điểm B).

Trong tình huống mở đầu, hãy tính độ lớn của góc $\alpha$.

Trong Ví dụ 7, khinh khí cầu thứ nhất hay thứ hai ở xa điểm xuất phát hơn? Giải thích vì sao.

Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow{a}=\left(3;1;2\right)$, $\overrightarrow{b}=\left(-3;0;4\right)$ và $\overrightarrow{c}=\left(6;-1;0\right)$

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$ và $2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{c}$.

b) Tính các tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\left(-\overrightarrow{b}\right)$ và $\left(2\overrightarrow{a}\right).\overrightarrow{c}$.

Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow{a}=\left(3;1;2\right)$, $\overrightarrow{b}=\left(-3;0;4\right)$ và $\overrightarrow{c}=\left(6;-1;0\right)$

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$ và $2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{c}$.

b) Tính các tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\left(-\overrightarrow{b}\right)$ và $\left(2\overrightarrow{a}\right).\overrightarrow{c}$.

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có $A\left(1;0;1\right),B\left(0;-3;1\right)$ và $C\left(4;-1;4\right)$.

a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng $\widehat{BAC}={90}^0$.

c) Tính $\widehat{ABC}$.

Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là 8m, chiều rộng là 6m và chiều cao là 3m. Một chiếc đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học. Xét hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với một góc phòng và mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét (H.2.51). Hãy tìm tọa độ của điểm treo đèn.

Trong không gian, xét hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của một giàn khoan trên biển, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt biển (được coi là phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (H.2.52). Đơn vị đo trong không gian Oxyz lấy theo kilômét. Một chiếc ra đa đặt tại giàn khoan có phạm vi theo dõi là 30km. Hỏi ra đa có thể phát hiện được một chiếc tàu thám hiểm có tọa độ là (25; 15; -10) đối với hệ tọa độ nói trên hay không? Hãy giải thích vì sao.