Câu hỏi:
120 lượt xemCho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a, góc BAD bằng 60°. Kẻ OH vuông góc với SC tại H. Biết SA (ABCD) và SA = . Chứng minh rằng:
a) (SBD) (SAC);
b) (SBC) (BDH);
c) (SBC) (SCD).
Lời giải
Hướng dẫn giải:
a) Ta có SA (ABCD) nên SA BD mà BD AC (do ABCD là hình thoi).
Do đó BD (SAC) mà BD (SBD) nên (SBD) (SAC).
b) Vì BD (SAC) nên BD SC, mà SC OH nên SC (BDH).
Vì SC (SBC) nên (SBC) (BDH).
c) Ta có tam giác ABD có AB = AD = a và = 60o nên tam giác ABD đều.
Suy ra BD = AB = AD = a.
Vì ABCD là hình thoi nên AC là tia phân giác của mà = 60o nên = 30o.
Xét tam giác ADO vuông tại O, có AO = AD . cos30° = . Do đó AC = a.
Xét tam giác SAC vuông tại A, có SC = .
Vì CHO đồng dạng CAS (g.g) nên .
Do đó, tam giác BDH vuông tại H, suy ra = 90o.
Mà BH SC, DH SC (do SC (BDH)) và (SBC) ∩ (SCD) = SC,
BH ⊂ (SBC), DH ⊂ (SCD).
Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) là góc giữa hai đường thẳng BH và DH. Mà (DH, BH) = = 90o.
Vậy (SBC) (SCD).
