Câu hỏi:
180 lượt xemCho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết (SAB) (ABCD), (SAD) (ABCD) và SA = a. Tính côsin của số đo góc nhị diện [S, BD, C] và góc nhị diện [B, SC, D].
Lời giải
Hướng dẫn giải:
*) Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có (SAB) (ABCD), (SAD) (ABCD) nên SA (ABCD). Suy ra SA BD.
Mà AC BD (do ABCD là hình vuông) nên BD (SAC). Do đó BD SO.
Vì BD SO, CO BD nên góc nhị diện [S, BD, C] bằng .
Ta có ABCD là hình vuông cạnh a nên AC = a, AO = .
Vì tam giác SAO vuông tại A nên SO = và cos = -cos = - = -.
Vậy côsin của số đo góc nhị diện [S, BD, C] bằng - .
*) Kẻ BM SC tại M.
Vì ABCD là hình vuông nên BD AC mà BD SA (do SA (ABCD)).
Do đó BD (SAC), suy ra BD SC mà BM SC nên SC (BDM).
Suy ra SC DM.
Xét SAB và SAD có SA chung, = 90o, AB = AD nên SAB = SAD.
Suy ra SB = SD (hai cạnh tương ứng).
Xét SBC và SDC có SB = SD, SC chung, BC = DC nên SBC = SDC.
Suy ra BM = DM (đều là đường cao tương ứng với đáy SC).
Vì BM SC và DM SC nên góc nhị diện [B, SC, D] bằng .
Có BC AB, BC SA (SA (ABCD)) nên BC (SAB) ⇒ BC SB hay tam giác SBC vuông tại B.
Xét tam giác SAB vuông tại A, có SB = .
Xét tam giác SBC vuông tại B, có SC = và
BM.SC = SB.BC DM = BM = .
Áp dụng định lí côsin trong tam giác BDM, có cos.
Vậy côsin của số đo góc nhị diện [B, SC, D] bằng -.
