Câu hỏi:
40 lượt xemTam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Biết rằng I cũng là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC đều.
Lời giải
Hướng dẫn giải:
|
GT |
ABC, ba đường phân giác cắt nhau tại I, ba đường trung trực cắt nhau tại I |
|
KL |
Tam giác ABC đều. |
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):
Vì I là giao điểm của ba đường trung trực và ba đường phân giác (giả thiết)
Nên ba đường phân giác cũng đồng thời là đường trung trực của tam giác.
Gọi AM, BN, CP lần lượt là ba đường trung trực của tam giác ABC.
Do đó AM BC tại trung điểm M của BC và AM là đường phân giác của
BN AC tại trung điểm N của AC và BN là đường phân giác của
CP AB tại trung điểm P của AB và CP là đường phân giác của
+) Xét ABM (vuông tại M) và DACM (vuông tại M) có:
(do AM là đường phân giác của ),
AM là cạnh chung,
Do đó ABM = ACM (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)
Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng) (1)
+) Xét ABN (vuông tại N) và CBN (vuông tại N) có:
(do BN là đường phân giác của ),
BN là cạnh chung,
Do đó ABN = CBN (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)
Suy ra AB = CB (hai cạnh tương ứng) (1)
Từ (1) và (2) suy ra AB = BC = AC
Do đó tam giác ABC là tam giác đều.
Vậy tam giác ABC đều.
Cho tam giác ABC như Hình 122. Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng BC
Trong Hình 127, điểm O có phải là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC không
