Câu hỏi:
35 lượt xemTam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại G. Biết rằng điểm G cũng là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC đều.
Lời giải
Hướng dẫn giải:
|
GT |
ABC, ba đường trung tuyến cắt nhau tại G, ba đường trung trực cắt nhau tại G |
|
KL |
Tam giác ABC đều. |
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):
Vì G là giao điểm của ba đường trung trực và ba đường trung tuyến (giả thiết)
Nên ba đường trung tuyến cũng đồng thời là đường trung trực của tam giác.
Gọi AM, BN, CP lần lượt là ba đường trung trực của tam giác ABC.
Do đó AM BC tại trung điểm M của BC;
BN AC tại trung điểm N của AC;
CP AB tại trung điểm P của AB;
+) Xét tam giác ABM (vuông tại M) và tam giác ACM (vuông tại M) có:
MB = MC (M là trung điểm của BC),
AM là cạnh chung
Do đó ABM = ACM (hai cạnh góc vuông)
Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng) (1)
+) Xét tam giác BAN (vuông tại N) và tam giác BCN (vuông tại N) có:
NA = NC (N là trung điểm của AC),
BN là cạnh chung
Do đó BAN = BCN (hai cạnh góc vuông)
Suy ra BA = BC (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB = AC = BC
Do đó tam giác ABC là tam giác đều.
Vậy tam giác ABC là tam giác đều.
Cho tam giác ABC như Hình 122. Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng BC
Trong Hình 127, điểm O có phải là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC không
