500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 1)

500 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 1)

Câu 1: Cho tam giác ABC, M, N, P được xác định bởi véctơ$\overrightarrow{MA}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{BM},\overrightarrow{AN}=-3\overrightarrow{CN},\overrightarrow{CP}=\frac{1}{4}\overrightarrow{PB}$.

Chứng minh M, N, P thẳng hàng?

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{MA}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{BM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{MB};\overrightarrow{AN}=-3\overrightarrow{CN}=3\overrightarrow{NC};\overrightarrow{CP}=\frac{1}{4}\overrightarrow{PB}$

Ta lại có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=\frac{3}{4}\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{NC}=\frac{3}{4}\overrightarrow{MP}+\frac{3}{4}\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{NP}+3\overrightarrow{PC}$

$\iff \overrightarrow{MN}=\frac{3}{4}\overrightarrow{MP}+3\overrightarrow{CP}+3\overrightarrow{NP}-3\overrightarrow{CP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{MP}+3\overrightarrow{NP}$

$\iff \overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PN}=\frac{3}{4}\overrightarrow{MP}+3\overrightarrow{NP}$

$\iff \frac{1}{4}\overrightarrow{MP}=4\overrightarrow{NP}\iff \overrightarrow{MP}=16\overrightarrow{NP}$

Do đó M, N, P thằng hàng.

Câu 2: Cho a,b ≠ -2 thỏa mãn (2a + 1) (2b + 1) = 9

Tính giá trị biểu thức $M=\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}$.

Lời giải:

Ta có: $2b+1=\frac{9}{2a+1}\Rightarrow b=\frac{4-a}{2a+1}\Rightarrow b+2=\frac{4-a}{2a+1}+2=\frac{3a+6}{2a+1}$

$M=\frac{1}{a+2}+\frac{2a+1}{3a+6}=\frac{1}{a+2}+\frac{2a+1}{3\left(a+2\right)}=\frac{3+2a+1}{3\left(a+2\right)}=\frac{2\left(a+2\right)}{3\left(a+2\right)}=\frac{2}{3}$.​

Câu 3: Chứng minh các bất đẳng thức: $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$ với a > 0, b > 0

Lời giải:

Xét hiệu

$\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{b\left(a+b\right)+a\left(a+b\right)-4ab}{ab\left(a+b\right)}=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}=\frac{{\left(a-b\right)}^2}{ab\left(a+b\right)}\ge 0$, vì a, b > 0

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b.

Câu 4: Cho a lớn hơn 0 và b lớn hơn 0. Chứng minh rằng

$\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge 4$

Lời giải:

$$\begin{gathered} \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge 4 \\ \iff 1+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1\ge 4 \\ \iff \frac{b^2+a^2}{ab}\ge 2 \end{gathered}$$

Vì a > 0 và b > 0  ⇒ ab > 0

Vậy $\frac{b^2+a^2}{ab}\ge 2\iff b^2+a^2\ge 2ab$

$\iff {\left(a-b\right)}^2\ge 0$.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.