Trong hai hình Dinh Thống Nhất ở Hình 1.50, hãy chỉ ra phép đồng dạng biến hình nhỏ thành hình lớn.

Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A, B. Điểm M thay đổi trên đường thẳng d. Gọi N là điểm đối xứng của M qua đường thẳng AB và P là trung điểm của đoạn thẳng BN. Chứng minh rằng P thuộc một đường thẳng cố định.

Chứng minh rằng phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đồng dạng f với tỉ số k₁ và phép đồng dạng g với tỉ số k_­2 là một phép đồng dạng với tỉ số k₁.k₂.

Phép dời hình và phép vị tự tỉ số t có phải là các phép đồng dạng hay không? Nếu có thì tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?

Hai tấm ản Dinh Thống Nhất ở hình trên giống nhau về hình dạng, chỉ khác nhau về kích thước.

a) Hãy đo và cho biết chiều dài, chiều rộng của tấm ảnh lớn tương ứng gấp mấy lần chiều dài, chiều rộng của tấm ảnh nhỏ.

b) Nếu lấy hai vị trí A, B bất kì thuộc tấm ảnh nhỏ và các vị trí A', B' tương ứng với chúng trên tấm ảnh lớn thì khoảng cách giữa A' và B' gấp mấy lần khoảng cách giữa A và B? Hãy lấy ví dụ cụ thể các vị trí và đo để kiểm tra câu trả lời của bạn.

Phép dời hình cho phép ta thể hiện mối quan hệ giống nhau cả về hình dạng và kích thước giữa các hình. Đối với các hình chỉ giống nhau về hình dạng còn kích thước có thể khác nhau thì sao? Đối tượng toán học nào cho phép ta thể hiện điều đó?

Quan sát ba hình được tô màu ở Hình 1.49, hình nhỏ nào là ảnh của hình lớn qua một phép vị tự?

Ở Hình 1.48, A', B', C', D', E' tương ứng là trung điểm của các đoạn thẳng IA, IB, IC, ID, IE. Hỏi năm điểm đó có thuộc một đường tròn hay không? Vì sao?

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1; 2), B(3; 6). Viết phương trình đường tròn (C) là ảnh của đường tròn đường kính AB qua phép vị tự V_{(O, 3)}.

Cho hình thang ABCD có hai đáy AB và CD, CD = 2AB. Gọi O là giao của hai cạnh bên và I là giao của hai đường chéo. Tìm ảnh của đoạn thẳng AB qua các phép vị tự V_{(O, 2)}, V_{(I, – 2)}.

Quan sát Hình 1.47 và cho biết hình nào trong hai hình nhỏ không phải là ảnh của hình lớn qua một phép vị tự. Nêu lí do cho sự lựa chọn đó.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)² + (y – 2)² = 25.

a) Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn (C).

b) Tìm tâm I' và bán kính R' của đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm A(3; 5), tỉ số 2.

c) Viết phương trình của (C').

Cho phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M thành điểm M'¸điểm N thành điểm N'.

a) Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{OM\text{'}},\overrightarrow{ON\text{'}}$ tương ứng theo các vectơ $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}$.

b) Giải thích vì sao $\overrightarrow{M\text{'}N\text{'}}=k\overrightarrow{MN}$.

Tìm góc lượng giác x sao cho:

a) sin 2x = sin 42°;

b) sin(x – 60°) = −√32−32 ;

c) cos(x + 50°) = 1212 ;

d) cos 2x = cos (3x + 10°);

e) tan x = tan 25°;

f) cot x = cot (– 32°).

Giải phương trình:

a) sin3x=√32sin3𝑥=32 ;

b) sin(x2+π4)=−√22sin𝑥2+𝜋4=−22 ;

c) cos(3x+π3)=−12cos3𝑥+𝜋3=−12 ;

d) 2cosx+√3=02cos𝑥+3=0 ;

e) √3tanx−1=03tan𝑥−1=0 ;

g) cot(x+π5)=1cot𝑥+𝜋5=1 .

Phương trình sin 3x = cos x có các nghiệm là:

Phương trình $\cos 2x=\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$  có các nghiệm là:

Phương trình $\sqrt{3}\cos x+3\sin x=0$  có các nghiệm là:

A. $x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

B. $x=\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

C. $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

D. $x=\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Phương trình sin x – cos x = 0 có các nghiệm là:

A. $x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

B. $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

C. $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

D. $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Phương trình cot x = 0 có các nghiệm là:

A. $x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

B. $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

C. $x=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

D. $x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Phương trình tan x = − 1 có các nghiệm là:

A. $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

B. $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

C. $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

D. $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Giá trị của m để phương trình cos x = m có nghiệm trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$  là:

A. 0 ≤ m < 1.

B. 0 ≤ m ≤ 1.

C. 0 < m ≤ 1.

D. 0 < m < 1.

Phương trình $\cos x=-\frac{1}{2}$  có các nghiệm là:

Số nghiệm của phương trình sin x = 0,3 trên khoảng (0; 4π) là:

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 6.

Phương trình sin x = 1 có các nghiệm là:

A. $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

B. $x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

C. $x=\pi +k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

D. $x=k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Một vòng quay trò chơi có bán kính 57 m, trục quay cách mặt đất 57,5 m, quay đều mỗi vòng hết 15 phút. Khi vòng quay quay đều, khoảng cách h (m) từ một cabin gắn tại điểm A của vòng quay đến mặt đất được tính bởi công thức:

$h\left(t\right)=57\sin \left(\frac{2\pi }{15}t-\frac{\pi }{2}\right)+\mathrm{57,5}$

với t là thời gian quay của vòng quay tính bằng phút (t ≥ 0) (Hình 12).

a) Tính chu kì của hàm số h(t)?

b) Khi t = 0 (phút) thì khoảng cách từ cabin đến mặt đất bằng bao nhiêu?

c) Khi quay một vòng lần thứ nhất tính từ thời điểm t = 0 (phút), tại thời điểm nào của t thì cabin ở vị trí cao nhất? Ở vị trí đạt được chiều cao là 86 m?

Từ đồ thị hàm số y = sin x, tìm:

a) Các giá trị của x để sin x = $\frac{1}{2}$ ;

b) Các khoảng giá trị của x để hàm số y = sin x nhận giá trị dương.

Từ đồ thị hàm số y = cos x, cho biết:

a) Có bao nhiêu giá trị của x trên đoạn [ – 5π; 0] để cos x = 1;

b) Có bao nhiêu giá trị của x trên khoảng $\left(-\frac{9\pi }{2};-\frac{3\pi }{2}\right)$  để cos x = 0.

Xét sự biến thiên của mỗi hàm số sau trên các khoảng tương ứng:

a) y = sin x trên khoảng $\left(-\frac{19\pi }{2};-\frac{17\pi }{2}\right),\left(-\frac{13\pi }{2};-\frac{11\pi }{2}\right)$ ;

b) y = cosx trên khoảng (19π; 20π), (– 30π; – 29π).

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

a) y = 3sin x + 5; 

b) $y=\sqrt{1+\cos 2x}+3$ ;

c) y = 4 – 2sin x cos x;

d) $y=\frac{1}{4-\sin x}$ .  

Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số:

a) y = sin 2x;

b) y = |sin x|;

c) y = tan² x;

d) $y=\sqrt{1-\cos x}$ ;

e) y = tan x + cot x;

g) y = sin x . cos 3x.

Tìm tập xác định của các hàm số:

a) $y=\sqrt{1+\sin 3x}$ ;

b) $y=\frac{\sin 2x}{\sqrt{1-\cos x}}$ ;

c) $y=\frac{\sqrt{1+\cos 2x}}{\sin x}$ .

d) $y=\frac{1}{\sin x+\cos x}$ ;

e) $y=\frac{1}{1+\sin x\cos x}$ ;

g) $y=\sqrt{\cos x-1}$ .

Số giá trị α ∈ [− π; 2π] sao cho $\cos \alpha =\frac{1}{3}$  là:

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng:

A. $\left(\frac{9\pi }{2};\frac{11\pi }{2}\right)$ .

B. $\left(\frac{11\pi }{2};\frac{13\pi }{2}\right)$ .

C. (10π; 11π).

D. (9π; 10π).

Hàm số nào trong các hàm số sau đồng biến trên khoảng $\left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$ ?

A. y = sin x.

B. y = cos x.

C. y = tan x.

D. y = cot x.  

Hàm số y = cos x nghịch biến trên khoảng:

A. (0; π).

B. (π; 2π).

C. $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ .

D. (– π; 0).

Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A. y = cos x + 5.

B. y = tan x + cot x.

C. y = sin(– x).

D. y = sin x – cos x.

Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?

A. y = – 2cos x.

B. y = – 2sin x.

C. y = tan x – cos x.

D. y = – 2 sin x + 2.  

Tập xác định của hàm số $y=\tan x+\frac{1}{1+{\cot }^{2}x}$  là:

Tập xác định của hàm số $y=\frac{1-\sin x}{\cos x}$  là: