Câu hỏi:

66 lượt xem
Tự luận

Cho A=7+72+73+...+7119+7120A = 7 + {7^2} + {7^3} + ... + {7^{119}} + {7^{120}}. Chứng minh rằng biểu thức AA chia cho hết cho 57.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Ta có A=7+72+73+...+7119+7120A = 7 + {7^2} + {7^3} + ... + {7^{119}} + {7^{120}}

=(71+72+73)+(74+75+76)+...+(7118+7119+7120) = \left( {{7^1} + {7^2} + {7^3}} \right) + \left( {{7^4} + {7^5} + {7^6}} \right) + ... + \left( {{7^{118}} + {7^{119}} + {7^{120}}} \right)

=7(1+7+72)+74(1+7+72)+...+7118(1+7+72) = 7\left( {1 + 7 + {7^2}} \right) + {7^4}\left( {1 + 7 + {7^2}} \right) + ... + {7^{118}}\left( {1 + 7 + {7^2}} \right)

=7  .  57+74  .  57+...+7118  .  57 = 7\,\,.\,\,57 + {7^4}\,\,.\,\,57 + ... + {7^{118}}\,\,.\,\,57=57(7+74+...+7118) = 57\left( {7 + {7^4} + ... + {7^{118}}} \right).

57    5757\,\, \vdots \,\,57 nên 57(7+74+...+7118)    5757\left( {7 + {7^4} + ... + {7^{118}}} \right)\,\, \vdots \,\,57.

Vậy biểu thức AA chia cho hết cho 57.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ