Cho cos 2x = -4/5 với pi/4 <x< pi/2 . Tính sin x, cos x, Sin (x+ pi/3) , cos (2x- pi/4)

Câu hỏi:

81 lượt xem

Tự luận

Cho cos 2x = $- \frac{4}{5}$ với $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ . Tính sin x, cos x, $\sin (x + \frac{π}{3})$ , $\cos (2 x - \frac{π}{4})$

Xem đáp án

Xem thêm: Giải SBT Toán 11 (Kết nối tri thức) Bài 2: Công thức lượng giác

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Vì $\frac{π}{4}$ < x < $\frac{π}{2}$ nên sin x > 0, cos x > 0. Áp dụng công thức hạ bậc, ta có

$\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2 x}{2} = \frac{1 - (- \frac{4}{5})}{2} = \frac{9}{10}$ ⇒ sin x = $\frac{3}{\sqrt{10}}$ .

$\cos^{2} x = \frac{1 + \cos 2 x}{2} = \frac{1 + (- \frac{4}{5})}{2} = \frac{1}{10}$ ⇒ cos x = $\frac{1}{\sqrt{10}}$ .

Theo công thức nhân đôi, ta có sin 2x = 2 sin x cos x = $2. \frac{3}{\sqrt{10}} . \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Theo công thức cộng, ta có

$\sin (x + \frac{π}{3}) = \sin x \cos \frac{π}{3} + \cos x \sin \frac{π}{3} = \frac{3}{\sqrt{10}} . \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{10}} . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2 \sqrt{10}}$

$\cos (2 x - \frac{π}{4}) = \cos 2 x \cos \frac{π}{4} + \sin 2 x \sin \frac{π}{4} = (- \frac{4}{5}) . \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3}{5} . \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{10}$