a) Do phép quay là phép dời hình nên ảnh A₂B₂C₂D₂ của hình vuông A₁B₁C₁D₁ cũng là hình vuông có kích thước bằng hình vuông A₁B₁C₁D₁.

Theo đề, ta có A₁B₁C₁D₁ là ảnh của hình vuông ABCD qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{{\mathrm{OO}}^{\text{'}}}$.

Mà O là tâm của hình vuông ABCD.

Nên ta có O’ là tâm của hình vuông A₁B₁C₁D₁.

Mà A₂B₂C₂D₂ là ảnh của hình vuông A₁B₁C₁D₁ qua Q_(O’, φ) (giả thiết).

Suy ra O’ cũng là tâm của hình vuông A₂B₂C₂D₂.

Do đó O’A₂ = O’B₂ = O’C₂ = O’D₂.

Để tìm ảnh A₂B₂C₂D₂ của hình vuông A₁B₁C₁D₁ qua Q_(O’, φ), ta tìm vị trí các điểm A₂, B₂, C₂, D₂ theo thứ tự là ảnh của các điểm A₁, B₁, C₁, D₁ qua Q_(O’, φ).

Ta có A₂ = Q_(O’, φ)(A₁).

Suy ra O’A₂ = O’A₁ và (O’A₁, O’A₂) = φ.

Mà φ = (O’A₁, O’A’) (giả thiết).

Do đó A₂ nằm trên đường thẳng O’A’.

Vì vậy A₂ là một điểm nằm trên đường thẳng O’A’ thỏa mãn O’A₂ = O’A₁.

Ta có B₂ = Q_(O’, φ)(B₁).

Suy ra O’B₂ = O’B₁ và (O’B₁, O’B₂) = φ.

Ta có O’ là tâm của hình vuông A₂B₂C₂D₂ và hình vuông A’B’C’D’.

Khi đó $\widehat{A_1{O}^{\text{'}}{B}_2}=90°-\widehat{A_2{O}^{\text{'}}{A}_1}$ và $\widehat{A_1{O}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=90°-\widehat{A^{\text{'}}{O}^{\text{'}}{A}_1}$.

Suy ra $\widehat{A_1{O}^{\text{'}}{B}_2}=\widehat{A_1{O}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}$.

Do đó B₂ nằm trên đường thẳng O’B’.

Vì vậy B₂ là một điểm nằm trên đường thẳng O’B’ thỏa mãn O’B₂ = O’B₁.

Chứng minh tương tự, ta được:

⦁ C₂ nằm trên đường thẳng O’C’ thỏa mãn O’C₂ = O’C₁;

⦁ D₂ nằm trên đường thẳng O’D’ thỏa mãn O’D₂ = O’D₁.

Vậy ảnh của hình vuông A₁B₁C₁D₁ qua Q_(O’, φ) là hình vuông A₂B₂C₂D₂ thỏa mãn A₂, B₂, C₂, D₂ lần lượt nằm trên O’A’, O’B’, O’C’, O’D’ và O’B₂ = O’C₂ = O’D₂ = O’A₂ = O’A₁.

b) Để tìm ảnh của hình vuông A₂B₂C₂D₂ qua V_{(O’, k)}, ta tìm ảnh của các điểm A₂, B₂, C₂, D₂ qua V_{(O’, k)}.

Theo đề, ta có $\overrightarrow{O^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=k\overrightarrow{O^{\text{'}}{A}_2}$.

Suy ra V_{(O’, k)}(A₂) = A’ và O’A’ = |k|.O’A₂.

Ta có O’A₂ = O’B₂ (chứng minh trên) và O’A’ = O’B’ (O’ là tâm của hình vuông A’B’C’D’).

Suy ra $\frac{O^{\text{'}}{B}_2}{O^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{O^{\text{'}}{A}_2}{O^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=\frac{1}{\mathrm{|k|}}$.

Do đó O’B’ = |k|.O’B₂.

Mà $\overrightarrow{{\mathrm{O}}^{\text{'}}{\mathrm{B}}^{\text{'}}},\overrightarrow{{\mathrm{O}}^{\text{'}}{\mathrm{B}}_2}$ cùng phương (B₂ là một điểm nằm trên đường thẳng O’B’).

Suy ra $\overrightarrow{O^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\; k\overrightarrow{O^{\text{'}}{B}_2}$.

Do đó V_{(O’, k)}(B₂) = B’.

Chứng minh tương tự, ta được V_{(O’, k)}(C₂) = C’ và V_{(O’, k)}(D₂) = D’.

Vậy ảnh của hình vuông A₂B₂C₂D₂ qua V_{(O’, k)} là hình vuông A’B’C’D’.

c) Từ kết quả của câu a) và b), ta thấy phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O’, góc quay φ = (O’A₁, O’A’) và phép vị tự tâm O, tỉ số k biến hình vuông ABCD thành hình vuông A’B’C’D’.

Do đó hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’ đồng dạng với nhau.

Vậy hai hình vuông tùy ý luôn đồng dạng với nhau.