a) Do ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên các mặt là hình vuông.

Vì ABCD là hình vuông nên AB $\perp$ BC mà AB $\perp$ BB' (do BB' $\perp$ (ABCD)), từ đó suy ra AB $\perp$ (BCC'B'), suy ra BC' $\perp$ AB.

Vì A'B'C'D' là hình vuông nên C'D' $\perp$ B'C' mà CC' $\perp$ C'D' (do CC' $\perp$ (A'B'C'D')) nên C'D' $\perp$ (BCC'B'), suy ra BC' $\perp$ C'D'.

Xét tam giác BB'C' vuông tại B', có BC' = $\sqrt{BB{\text{'}}^2+B\text{'}C{\text{'}}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.

Vì BC' $\perp$ AB và BC' $\perp$ C'D' nên d(AB, C'D') = BC' = $a\sqrt{2}$.

b) Ta có AA' // CC' và AA' = CC' (do AA'; CC' cùng song song và bằng BB').

Do đó ACC'A' là hình bình hành, suy ra AC // A'C'. Do đó AC // (A'B'C'D').

Vì AC // (A'B'C'D') nên d(AC, (A'B'C'D')) = d(A, (A'B'C'D')) = AA' = a.

c) Gọi O' là giao điểm của A'C' và B'D'.

Vì AA' $\perp$ (A'B'C'D') nên AA' $\perp$ B'D'.

Vì A'B'C'D' là hình vuông nên A'C' $\perp$ B'D' mà AA' $\perp$ B'D' nên B'D' $\perp$ (AA'C'C), suy ra AO' $\perp$ B'D'.

Xét tam giác A'B'C' vuông tại B', có: A'C' = $\sqrt{A\text{'}B{\text{'}}^2+B\text{'}C{\text{'}}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.

Do A'B'C'D' là hình vuông và O' là giao điểm của A'C' và B'D' nên O' là trung điểm của A'C'. Do đó A'O' = $\frac{A\text{'}C\text{'}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Xét tam giác AA'O' vuông tại A', có AO' = $\sqrt{AA{\text{'}}^2+A\text{'}O{\text{'}}^2}=\sqrt{a^2+\frac{2a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$.

Vì AO' $\perp$ B'D' nên d(A, B'D') = AO' = $\frac{a\sqrt{6}}{2}$ .

d) Vì AC // A'C' nên AC // ((A'B'C'D')) mà B'D' $\subset$ (A'B'C'D').

Do đó d(AC, B'D') = d(AC, (A'B'C'D')) = d(A, (A'B'C'D')) = AA' = a.