Cho hai dãy số (u_n) và (v_n) thỏa mãn $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=1$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=b\in ℝ$ . Xét các khẳng định sau:

(1) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n+v_n\right)=1+b$ ;

(2) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{v_n}{u_n}=b$ ;

(3) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n+v_n\right)=b$ ;

(4) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=\frac{1}{b}$ .

Số khẳng định đúng là

A. 2.

B. 1.

C. 3.

D. 4.

Cho $L=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(n^3-2n+1\right)$ . Giá trị của L là

A. L = 0.

B. L = – ∞.

C. L = + ∞.

D. L = 1.

Biết $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n^2+n-1}{a{n}^2+1}=1$ với a là tham số. Giá trị của a² – 2a là

A. – 1.

B. 0.

C. 2.

D. Không xác định.

Cho $u_n=\sqrt{n}\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}\right)$ . Khi đó $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$ bằng

A. + ∞.

B. 0.

C. $\frac{1}{2}$ .

D. 1.

Tính tổng $S=-\frac{2}{3}+\frac{2}{9}-\frac{2}{27}+\mathrm{...}+{\left(-1\right)}^n\frac{2}{3^n}+\mathrm{...}$

A. $S=\frac{1}{2}$ .

B. $S=-\frac{1}{2}$ .

C. S = – 3.

D. S = 3.

Cho hàm số f(x) thỏa mãn $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=3$ và $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-3$ . Khẳng định đúng là

A. $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=3$ .

B. $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=0$ .

C. Không tồn tại $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$ .

D. $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=-3$ .

Cho hàm số f(x) thỏa mãn $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=2$ và $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=m+1$ . Biết giới hạn của f(x) khi x → 1 tồn tại. Giá trị của m là

A. m = 1.

B. m = – 1.

C. m = 3.

D. Không tồn tại m.

Biết hàm số $f\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}{x}^2+a neu x\le 1\\ 2x+b neu x>1\end{array}\right)$ có giới hạn khi x → 1. Giá trị của a – b bằng

A. – 1.

B. 0.

C. 1.

D. 3.

Giới hạn $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x-1}{\sqrt{x-1}}$ là

A. + ∞.

B. Không tồn tại.

C. 2.

D. 0.

Cho $f\left(x\right)=\frac{x^2-x}{\left(x\right)}$ . Khi đó, giới hạn $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)$ là

A. 0.

B. – 1.

C. 1.

D. Không tồn tại.

Giới hạn $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+2}-x}{x}$ là

A. + ∞.

B. 0.

C. – 2.

D. Không tồn tại.

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}2 neu -1<x\le 1\\ 1-x neu x\le -1 hoac x>1\end{array}\right)$ . Mệnh đề đúng là

A. Hàm số f(x) liên tục trên [– 1; 1].

B. Hàm số f(x) liên tục trên (– 1; 1].

C. Hàm số f(x) liên tục trên [– 1; 1).

D. Hàm số f(x) liên tục trên ℝ.

Xét hàm số $f\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{x^2+3x+2}{x+1} neu x\ne -1\\ m neu x=-1\end{array}\right)$ với m là tham số. Hàm số f(x) liên tục trên ℝ khi

A. m = 0.

B. m = 3.

C. m = – 1.

D. m = 1.

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{x\left(x-1\right)}{\sqrt{x-1}}$ . Hàm số này liên tục trên

A. (1; + ∞).

B. (– ∞; 1).

C. [1; + ∞).

D. (– ∞; 1].

Cho phương trình x⁷ + x⁵ = 1. Mệnh đề đúng là

A. Phương trình có nghiệm âm.

B. Phương trình có nghiệm trong khoảng (0; 1).

C. Phương trình có nghiệm trong khoảng (1; 2).

D. Phương trình vô nghiệm.

Cho dãy số (u_n) thỏa mãn |u_n| ≤ 1. Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_n}{n+1}$ .

Tìm giới hạn của dãy số (u_n) với $u_n=\frac{n\sqrt{1+2+\mathrm{...}+n}}{2n^2+3}$ .

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:

a) − 0,(31);

b) 2,(121).

Cho hình vuông H₁ có cạnh bằng a. Chia mỗi cạnh của hình vuông này thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông H₂. Lặp lại cách làm như trên với hình vuông H₂ để được hình vuông H₃. Tiếp tục quá trình trên ta nhận được dãy hình vuông H₁, H₂, H₃, ..., H_n, ... Gọi s_n là diện tích của hình vuông H_n.

a) Tính s_n.

b) Tính tổng T = s₁ + s₂ + ... + s_n + ...

Tìm a là số thực thỏa mãn $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{2x^2+1}{x^2+2x+3}+a^2+3a\right)=0$ .

Tính các giới hạn sau: 

a) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x\left(x+1\right)\left(2x-1\right)}{5x^3+x+7}$ ;

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3-1\right)\left(2-x^5\right)$ ;

c) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt[3]{x^3+x^2+1}-x\right)$ .

Tính $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(1-x\right)\left(1-2x\right)\mathrm{...}\left(1-2018x\right)$ .

Biết $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ . Hãy tính:

a) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x^3}$ ;

b) $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin x}{x^2}$ ;

c) $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\sin x}{x^2}$ .

Tính $\underset{x\to 0}{\lim }x\sin \frac{1}{x}$ .

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x-1}-\sqrt{1-x}}{x}$ . Phải bổ sung thêm giá trị f(0) bằng bao nhiêu để hàm số f(x) liên tục tại x = 0?

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{x} neu x\ne 0\\ 2 neu x=0\end{array}\right)$ .

a) Chứng minh rằng f(– 1) ∙ f(1) < 0.

b) Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 không có nghiệm thuộc khoảng (– 1; 1).

c) Có kết luận gì về tính liên tục của hàm số f(x) trên đoạn [– 1; 1]?