Cho hai dãy số (u_n) và (v_n) thỏa mãn $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=1$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=b\in ℝ$ . Xét các khẳng định sau:

(1) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n+v_n\right)=1+b$ ;

(2) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{v_n}{u_n}=b$ ;

(3) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n+v_n\right)=b$ ;

(4) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=\frac{1}{b}$ .

Số khẳng định đúng là

A. 2.

B. 1.

C. 3.

D. 4.

Cho $L=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(n^3-2n+1\right)$ . Giá trị của L là

A. L = 0.

B. L = – ∞.

C. L = + ∞.

D. L = 1.

Biết $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n^2+n-1}{a{n}^2+1}=1$ với a là tham số. Giá trị của a² – 2a là

A. – 1.

B. 0.

C. 2.

D. Không xác định.

Cho $u_n=\sqrt{n}\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}\right)$ . Khi đó $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$ bằng

A. + ∞.

B. 0.

C. $\frac{1}{2}$ .

D. 1.

Tính tổng $S=-\frac{2}{3}+\frac{2}{9}-\frac{2}{27}+\mathrm{...}+{\left(-1\right)}^n\frac{2}{3^n}+\mathrm{...}$

A. $S=\frac{1}{2}$ .

B. $S=-\frac{1}{2}$ .

C. S = – 3.

D. S = 3.

Cho hàm số f(x) thỏa mãn $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=3$ và $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-3$ . Khẳng định đúng là

A. $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=3$ .

B. $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=0$ .

C. Không tồn tại $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$ .

D. $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=-3$ .

Cho hàm số f(x) thỏa mãn $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=2$ và $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=m+1$ . Biết giới hạn của f(x) khi x → 1 tồn tại. Giá trị của m là

A. m = 1.

B. m = – 1.

C. m = 3.

D. Không tồn tại m.

Biết hàm số $f\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}{x}^2+a neu x\le 1\\ 2x+b neu x>1\end{array}\right)$ có giới hạn khi x → 1. Giá trị của a – b bằng

A. – 1.

B. 0.

C. 1.

D. 3.

Giới hạn $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x-1}{\sqrt{x-1}}$ là

A. + ∞.

B. Không tồn tại.

C. 2.

D. 0.

Cho $f\left(x\right)=\frac{x^2-x}{\left(x\right)}$ . Khi đó, giới hạn $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)$ là

A. 0.

B. – 1.

C. 1.

D. Không tồn tại.

Giới hạn $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+2}-x}{x}$ là

A. + ∞.

B. 0.

C. – 2.

D. Không tồn tại.

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}2 neu -1<x\le 1\\ 1-x neu x\le -1 hoac x>1\end{array}\right)$ . Mệnh đề đúng là

A. Hàm số f(x) liên tục trên [– 1; 1].

B. Hàm số f(x) liên tục trên (– 1; 1].

C. Hàm số f(x) liên tục trên [– 1; 1).

D. Hàm số f(x) liên tục trên ℝ.

Xét hàm số $f\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{x^2+3x+2}{x+1} neu x\ne -1\\ m neu x=-1\end{array}\right)$ với m là tham số. Hàm số f(x) liên tục trên ℝ khi

A. m = 0.

B. m = 3.

C. m = – 1.

D. m = 1.

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{x\left(x-1\right)}{\sqrt{x-1}}$ . Hàm số này liên tục trên

A. (1; + ∞).

B. (– ∞; 1).

C. [1; + ∞).

D. (– ∞; 1].

Cho phương trình x⁷ + x⁵ = 1. Mệnh đề đúng là

A. Phương trình có nghiệm âm.

B. Phương trình có nghiệm trong khoảng (0; 1).

C. Phương trình có nghiệm trong khoảng (1; 2).

D. Phương trình vô nghiệm.

Cho dãy số (u_n) thỏa mãn |u_n| ≤ 1. Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_n}{n+1}$ .

Tìm giới hạn của dãy số (u_n) với $u_n=\frac{n\sqrt{1+2+\mathrm{...}+n}}{2n^2+3}$ .

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:

a) − 0,(31);

b) 2,(121).

Cho hình vuông H₁ có cạnh bằng a. Chia mỗi cạnh của hình vuông này thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông H₂. Lặp lại cách làm như trên với hình vuông H₂ để được hình vuông H₃. Tiếp tục quá trình trên ta nhận được dãy hình vuông H₁, H₂, H₃, ..., H_n, ... Gọi s_n là diện tích của hình vuông H_n.

a) Tính s_n.

b) Tính tổng T = s₁ + s₂ + ... + s_n + ...

Tìm a là số thực thỏa mãn $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{2x^2+1}{x^2+2x+3}+a^2+3a\right)=0$ .

Tính các giới hạn sau: 

a) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x\left(x+1\right)\left(2x-1\right)}{5x^3+x+7}$ ;

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3-1\right)\left(2-x^5\right)$ ;

c) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt[3]{x^3+x^2+1}-x\right)$ .

Biết $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ . Hãy tính:

a) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x^3}$ ;

b) $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin x}{x^2}$ ;

c) $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\sin x}{x^2}$ .

Tính $\underset{x\to 0}{\lim }x\sin \frac{1}{x}$ .

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x-1}-\sqrt{1-x}}{x}$ . Phải bổ sung thêm giá trị f(0) bằng bao nhiêu để hàm số f(x) liên tục tại x = 0?

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{x} neu x\ne 0\\ 2 neu x=0\end{array}\right)$ .

a) Chứng minh rằng f(– 1) ∙ f(1) < 0.

b) Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 không có nghiệm thuộc khoảng (– 1; 1).

c) Có kết luận gì về tính liên tục của hàm số f(x) trên đoạn [– 1; 1]?

Một điểm dịch vụ trông giữ xe ô tô thu phí 30 nghìn đồng trong giờ đầu tiên và thu thêm 20 nghìn đồng cho mỗi giờ tiếp theo

a) Viết hàm số f(x) mô tả số tiền phí theo thời gian trông giữ.

b) Xét tính liên tục của hàm số này.