Hình 1.5 là đồ thị của hàm số $y=x^3-3x^2+2$. Hãy tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.

a) Xét dấu đạo hàm của hàm số trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$, $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$. Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến và dấu của đạo hàm trên mỗi khoảng này.

b) Có nhận xét gì về đạo hàm y’ của hàm số y trên khoảng $\left(-1;1\right)$?

Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số $y=-x^2+2x+3$.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x^3-3x^2+2x+1$.

a) Tính đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)$ và tìm các điểm x mà $f^{\prime }\left(x\right)=0$.

b) Lập bảng biến thiên của hàm số, tức là lập bảng thể hiện dấu của đạo hàm và sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng.

c) Nếu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a) $y=\frac{1}{3}{x}^3+3x^2+5x+2$;

b) $y=\frac{-x^2+5x-7}{x-2}$.

Giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc v(t) là đạo hàm của s(t). Hãy tìm vận tốc v(t).

b) Xét dấu của hàm v(t), từ đó suy ra câu trả lời.

Bài toán mở đầu:

Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải (H.1.1). Giả sử vị trí s(t) (mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm t (giây) được cho bởi công thức $s\left(t\right)=t^3-9t^2+15t,t\ge 0$. Hỏi trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang phải, trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang trái?

Quan sát đồ thị của hàm số $y=x^3+3x^2-4$ (H.1.7). Xét dấu đạo hàm của hàm số đã cho và hoàn thành các bảng sau vào vở:

Hình 1.9 là đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)$. Hãy tìm các cực trị của hàm số.

Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-3x^2+8x+1$.

a) Tính đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)$ và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)$ bằng 0.

b) Lập bảng biến thiên của hàm số.

c) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị của hàm số.

Giải thích vì sao nếu f’(x) không đổi dấu qua $x_0$ thì $x_0$ không phải là điểm cực trị của hàm số f(x)?

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) $y=x^4-3x^2+1$;                                            

b) $y=\frac{-x^2+2x-1}{x+2}$.

Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao 2m với vận tốc ban đầu là 24,5m/s. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao h (mét) của vật sau t (giây) được cho bởi công thức: $h\left(t\right)=2+24,5t-4,9t^2$. Hỏi tại thời điểm nào thì vật đạt độ cao lớn nhất?

Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của các hàm số có đồ thị như sau:

a) Đồ thị hàm số $y=x^3-\frac{3}{2}{x}^2$ (H.1.11);

Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của các hàm số có đồ thị như sau:

a) Đồ thị hàm số $y=x^3-\frac{3}{2}{x}^2$ (H.1.11);

b) Đồ thị hàm số $y=\sqrt[3]{{\left(x^2-4\right)}^2}$ (H.1.12).

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) $y=\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+3x+1$;

b) $y=-x^3+2x^2-5x+3$.

a) $y=\frac{2x-1}{x+2}$; 

b) $y=\frac{x^2+x+4}{x-3}$.

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) $y=\sqrt{4-x^2}$;
b) $y=\frac{x}{x^2+1}$.

Giả sử số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 2000 được mô tả bởi hàm số $N\left(t\right)=\frac{25t+10}{t+5},t\ge 0$, trong đó N(t) được tính bằng nghìn người.

a) Tính số dân của thị trấn đó vào các năm 2000 và 2015.
b) Tính đạo hàm N’(t) và $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}N\left(t\right)$. Từ đó giải thích tại sao dân số của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt qua một ngưỡng nào đó.

Đồ thị của đạo hàm bậc nhất $y=f^{\prime }\left(x\right)$ của hàm số f(x) được cho trong Hình 1.13:

a) Hàm số f(x) đồng biến trên những khoảng nào? Giải thích.
b) Tại giá trị nào của x thì f(x) có cực đại hoặc cực tiểu? Giải thích.

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) $y=2x^3-9x^2+12x-5$;

b) $y=x^4-4x^2+2$
c) $y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$;
d) $y=\sqrt{4x-2x^2}$.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\left|x\right|$.

a) Tính các giới hạn $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$ và $\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$. Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại $x=0$.
b) Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm số có cực tiểu tại $x=0$. (Xem Hình 1.4)

Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số $f\left(t\right)=\frac{5000}{1+5e^{-t}},t\ge 0,$ trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm f’(t) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?