Câu hỏi:

1176 lượt xem
Tự luận

Tìm các số nguyên x,yx,y thỏa mãn 6x2+5y2=546{x^2} + 5{y^2} = 54.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Từ 6x2+5y2=546{x^2} + 5{y^2} = 54, suy ra 6x2546{x^2} \le 54 (do 5y20,5{y^2} \ge 0, với mọi yZy \in \mathbb{Z})

Suy ra 0x290 \le {x^2} \le 9, mà xZx \in \mathbb{Z} nên x2Z{x^2} \in \mathbb{Z}, do đó x2{0;1;4;9}{x^2} \in \left\{ {0;1;4;9} \right\}

Mặt khác, x2+1=555x25y2{x^2} + 1 = 55 - 5{x^2} - 5{y^2}, hiệu này chia hết cho 5

Do đó (x2+1)5\left( {{x^2} + 1} \right) \vdots 5, suy ra x2=4{x^2} = 4 hoặc x2=9{x^2} = 9

Với x2=4{x^2} = 4, ta có y2=6{y^2} = 6 (loại, vì không thỏa mãn yZy \in \mathbb{Z})

Với x2=9{x^2} = 9, ta có: y2=0{y^2} = 0 suy ra y=0y = 0

Khi đó x2=9{x^2} = 9 suy ra x=3x = 3 hoặc x= 3x =  - 3.

Vậy (x;y){(3;0);(3;0)}\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {3;0} \right);\left( { - 3;0} \right)} \right\}.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ