Giải Toán 8 (Cánh Diều) Bài 4: Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử

Giải Toán 8 Bài 4: Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử

Bài giải Toán 8 Bài 4: Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử

Giải Toán 8 trang 24 Tập 1

Khởi động trang 24 Toán 8 Tập 1: Làm thế nào để biến đổi được đa thức 3x2 – 5x dưới dạng tích của hai đa thức?

Lời giải:

Để biến đổi được đa thức 3x2 – 5x dưới dạng tích của hai đa thức, ta áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.

Ta biến đổi như sau: 3x2 – 5x = x(3x – 5).

Hoạt động 1 trang 24 Toán 8 Tập 1: Viết đa thức 6x2 – 10x thành tích của hai đa thức bậc nhất.

Lời giải:

Đa thức 6x2 – 10x thành tích của hai đa thức bậc nhất như sau:

6x2 – 10x = 3x(x – 5).

Giải Toán 8 trang 25 Tập 1

Hoạt động 2 trang 25 Toán 8 Tập 1: Viết mỗi đa thức sau dưới dạng tích của hai đa thức:

a) x2 – y2;

b) x3 – y3;

c) x3 + y3.

Lời giải:

a) x2 – y2 = (x + y)(x – y);

b) x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2);

c) x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2).

Luyện tập 1 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử:

a) (x + 2y)2 – (2x – y)2;

b) 125 + y3;

c) 27x3 – y3.

Lời giải:

a) (x + 2y)2 – (2x – y)2 = [(x + 2y) + (2x – y)] [(x + 2y) – (2x – y)]

= (x + 2y + 2x – y)(x + 2y – 2x + y) = (3x + y)(3y – x);

b) 125 + y3 = 53 + y3 = (y + 5)(y2 – 5y + 52);

c) 27x3 – y3 = (3x)3 – y3 = (3x + y)(3x – y).

Hoạt động 3 trang 25 Toán 8 Tập 1: Cho đa thức x2 – 2xy + y2 + x – y.

a) Nhóm ba số hạng đầu và sử dụng hằng đẳng thức để viết nhóm đó thành tích.

b) Phân tích đa thức trên thành nhân tử.

Lời giải:

Cho đa thức x2 – 2xy + y2 + x – y.

a) Nhóm ba số hạng đầu và sử dụng hằng đẳng thức để viết nhóm đó thành tích, ta được:

x2 – 2xy + y2 + x – y

= (x2 – 2xy + y2) + (x – y) (nhóm ba số hạng đầu, hai số hạng cuối thành nhóm)

= (x – y)2 + (x – y) (dùng hằng đẳng thức để viết nhóm thứ nhất thành tích)

= (x – y)(x – y + 1) (đặt nhân tử chung ở hai nhóm ra ngoài để viết thành tích)

b) Đa thức trên được phân tích thành nhân tử như sau:

x2 – 2xy + y2 + x – y = (x – y)(x – y + 1).

Giải Toán 8 trang 26 Tập 1

Luyện tập 2 trang 26 Toán 8 Tập 1: Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử:

a) 3x2 – 6xy + 3y2 – 5x + 5y;

b) 2x2y + 4xy2 + 2y3 – 8y.

Lời giải:

a) 3x2 – 6xy + 3y2 – 5x + 5y

= 3(x2 – 2xy + y2) – (5x – 5y)

= 3(x – y)2 – 5(x – y) = (x – y)[3(x – y) – 5]

= (x – y)(3x – 3y) – 5).

b) 2x2y + 4xy2 + 2y3 – 8y

= 2y(x2 + 2xy + y2 – 4)

= 2y[(x + y)2 – 22]

= 2y(x + y + 2)(x + y – 2).

Bài tập

Bài 1 trang 26 Toán 8 Tập 1: Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử:

a) 4x2 – 12xy + 9y2;

b) x3 + 6x2 + 12x + 8;

c) 8y3 – 12y2 + 6y – 1;

d) (2x + y)2 – 4y2;

e) 27y3 + 8;

g) 64 – 125x3.

Lời giải:

a) 4x2 – 12xy + 9y2 = (2x)2 – 2 . 2x . 3y + (3y)2 = (2x – 3y)2;

b) x3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 + 3 . x2 . 2 + 3 . x . 22 + 23 = (x + 3)3;

c) 8y3 – 12y2 + 6y – 1 = (2y)3 – 3 . (2y)2 . 1 + 3 . 2y . 1 – 13 = (2y – 1)3;

d) (2x + y)2 – 4y2 = (2x + y + 4y)(2x + y – 4y) = (2x + 5y)(2x – 3y);

e) 27y3 + 8 = (3y)3 + 23 = (3y + 2)[(3y)2 – 3y . 2 + 22]

= (3y + 2)(9y2 – 6y + 4);

g) 64 – 125x3 = 43 – (5x)3 = (4 + 5x)[42 + 4 . 5x + (5x)2]

= (4 + 5x)(16 + 20x + 25x2).

Giải Toán 8 trang 27 Tập 1

Bài 2 trang 27 Toán 8 Tập 1: Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử:

a) x2 – 25 + 4xy + 4y2;

b) x3 – y3 + x2y – xy2;

c) x4 – y4 + x3y – xy3.

Lời giải:

a) x2 – 25 + 4xy + 4y2 = (x2 + 4xy + 4y2) – 25

= (x + 2y)2 – 52 = (x + 2y + 5)(x + 2y – 5);

b) x3 – y3 + x2y – xy2 = (x3 + x2y) – (y3 + xy2)

= (x3 + x2y) – (y3 + xy2) = x2(x + y) – y2(x + y)

= (x + y)(x2 – y2) = (x + y)(x + y)(x – y) = (x + y)2(x – y);

c) x4 – y4 + x3y – xy3 = (x4 + x3y) – (y4 + xy3)

= x3(x + y) – y3(x + y) = (x + y)(x3 – y3)

= (x + y)(x – y)(x2 + xy + y2).

Bài 3 trang 27 Toán 8 Tập 1: Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:

a) A = x4 – 2x2y – x2 + y2 + y biết x2 – y = 6;

b) B = x2y2 + 2xyz + z2 biết xy + z = 0.

Lời giải:

a) Ta có A = x4 – 2x2y – x2 + y2 + y

= (x4 – 2x2y + y2) – (x2 – y)

= [(x2)2 – 2x2y + y2] – (x2 – y)

= (x2 – y)2 – (x2 – y).

Giá trị của mỗi biểu thức A với x2 – y = 6 là:

A = (x2 – y)2 – (x2 – y) = 62 – 6 = 36 – 6 = 30.

b) B = x2y2 + 2xyz + z2 = (xy)2 + 2xyz + z2 = (xy + z)2.

Giá trị của mỗi biểu thức tại xy + z = 0 là: B = (xy + z)2 = 02 = 0.

Bài 4 trang 27 Toán 8 Tập 1: Chứng tỏ rằng:

a) M = 322 023 – 322 021 chia hết cho 31;

b) N = 76 + 2 . 73 + 82022 +1 chia hết cho 8.

Lời giải:

a) Ta có M = 322 023 – 322 021 = 322 . 322 021 – 322 021

= (322 – 1) . 322 021 = (1024 – 1) . 322 021 = 1023 . 322 021

Vì 1023 ⋮ 31 nên (1023 . 322 021) ⋮ 31.

Do đó M = 322 023 – 322 021 chia hết cho 31;

b) Ta có N = 76 + 2 . 73 + 82022 +1 = (73)2 + 2 . 73 +1 + 82022

= (73 + 1)2 + 82022 = 3442 + 82022.

Vì 344 ⋮ 8; 8 ⋮ 8 nên 3442 ⋮ 8; 82022 ⋮ 8.

Do đó (3442 + 82022) ⋮ 8

Vậy N = 76 + 2 . 73 + 82022 +1 chia hết cho 8.

Bài 5 trang 27 Toán 8 Tập 1: Bác Hoa gửi tiết kiệm a đồng kì hạn 12 tháng ở một ngân hàng với lãi suất x%/năm.

a) Viết công thức tính số tiền bác Hoa có được sau 12 tháng dưới dạng tích, biết bác Hoa không rút tiền ra khỏi ngân hàng trong 12 tháng đó.

b) Sau kì hạn 12 tháng, tiền lãi của kì hạn đó được cộng vào tiền vốn, rồi bác Hoa tiếp tục đem gửi cho kì hạn 12 tháng tiếp theo. Viết công thức tính tổng số tiền mà bác Hoa nhận được sau khi gửi 24 tháng trên dưới dạng tích, biết trong 24 tháng đó, lãi suất ngân hàng không thay đổi và bác Hoa không rút tiền ra khỏi ngân hàng.

Lời giải:

a) Số tiền lãi bác Hoa nhận được sau 12 tháng là: a . r% (đồng)

Do đó, công thức tính số tiền bác Hoa có được sau 12 tháng là:

a + a . r% = a . (1 + r%) (đồng).

b) Sau kì hạn 12 tháng, bác Hoa tiếp tục đem gửi cho kì hạn 12 tháng tiếp theo, tức là bác Hoa gửi tiếp 12 tháng với số tiền gốc là a . (1 + r%) (đồng).

Số tiền lãi bác Hoa nhận được sau khi gửi 24 tháng là:

a . (1 + r%) . r% (đồng).

Do đó, công thức tính tổng số tiền mà bác Hoa nhận được sau khi gửi 24 tháng là:

a . (1 + r%) + a . (1 + r%) . r% = a(1 + r%)(1 + r%) = a(1 + r%)2 (đồng).