Bàn ăn tròn đông người thường được thiết kế sao cho mặt trong nơi đặt đồ ăn có thể quay quanh tâm của nó. Nhờ đó, đồ ăn trên bàn có thể đi tới được gần từng người, mà vị trí đặt mặt bàn không bị dịch chuyển. Cơ sở toán học nào cho phép thực hiện điều đó?

Dùng com-pa, thước kẻ, bút, hãy vẽ lại các nét thẳng và tròn trong Hình 1.19.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ∆: x + 2y – 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với ∆ qua trục Ox.

Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A, B sao cho đường thẳng AB không vuông góc với d. Gọi M, N tương ứng là các điểm đối xứng với A, B qua d. Hỏi A, B, M, N có là 4 đỉnh của một hình thang cân hay không?

Cho hai đường tròn không đồng tâm, những có cùng bán kính (O₁; R) và (O₂; R). Xác định phép đối xứng trục biến (O₁; R) thành (O₂; R).

Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định phép đối xứng trục biến điểm A thành điểm B.

Bằng quan sát, hãy cho biết, trong hai hình ảnh bên, hình nào có trục đối xứng.

Cho đường thẳng ∆ và hai điểm A, B, sao cho ∆ không phải là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Điểm M thay đổi trên ∆ (M không thuộc đường thẳng AB). Gọi M' là điểm sao cho A, B, M, M' là 4 đỉnh của một hình thang cân nhận AB là một cạnh đáy. Chứng minh rằng M' thay đổi trên một đường thẳng cố định.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 3x – y – 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox.

Cho phép đối xứng trục d biến M thành M', N thành N'. Xét hệ trục tọa độ Oxy sao cho trục Oy trùng với d (H.1.16a). Giả sử M có tọa độ là (x₁; y₁), N có tọa độ là (x₂; y₂).

a) Hãy cho biết tọa độ của M', N'.

b) Tính MN², M'N'² theo tọa độ của các điểm tương ứng.

c) So sánh độ dài các đoạn thẳng MN, M'N'.

Xét mặt phẳng tọa độ Oxy (H.1.15). Trong các khẳng định sau, chọn các khẳng định đúng.

a) Phép đối xứng trục Ox biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm có tọa độ (x; – y).

b) Phép đối xứng trục Oy biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm có tọa độ (– x; y).

c) Phép đối xứng trục Ox biến A(1; 2) thành điểm A'(– 1; – 2).

Cầu Ponte Sisto in hình dưới dòng sông Tiber, tạo nên một hình ảnh có tính đối xứng trục.

a) Hãy chỉ ra trục đối xứng của hình ảnh đó.

b) Có thể đếm được bao nhiêu hình bóng điện dưới sông? Mỗi hình đó là ảnh dưới sông của bóng điện nào trên cầu?

Trong việc lát sàn nhà như Hình 1.11, viên gạch ở hàng dọc thứ 4 từ trái sang và hàng ngang thứ 2 từ dưới lên là ảnh của viên gạch ở góc dưới bên trái qua phép tịnh tiến theo vectơ nào? (Gợi ý: Tính vectơ tịnh tiến đó theo hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ trên hình vẽ).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)² + (y + 2)² = 25 và vectơ $\overrightarrow{u}=\left(3;4\right)$.

a) Xác định ảnh của tâm đường tròn (C) qua phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{u}}$

b) Viết phương trình đường tròn (C') là ảnh của (C) qua $T_{\overrightarrow{u}}$.

Cho $\overrightarrow{u}$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆. Hỏi phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{u}}$ biến ∆ thành đường thẳng nào?

Trong việc lát mặt phẳng bởi các tam giác đều bằng nhau như được thể hiện trong Hình 1.10, phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}$ có biến mỗi viên gạch màu xanh thành một viên gạch màu xanh, mỗi viên gạch màu đỏ thành một viên gạch màu đỏ hay không?

Cho đường tròn (O; R) và điểm O' khác điểm O. Với mỗi điểm M thuộc (O; R) sao cho O, O', M không thẳng hàng, vẽ hình bình hành MOO'M'. Hỏi khi M thay đổi trên (O; R) thì M' thay đổi trên đường nào?

Phép tịnh tiến biến $T_{\overrightarrow{u}}$ biến M thành M', N thành N' (H.1.7).

a) Có nhận xét gì về $\overrightarrow{MM\text{'}}+\overrightarrow{M\text{'}M}$ và $\overrightarrow{M\text{'}N}+\overrightarrow{NN\text{'}}$.

b) Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{M\text{'}N\text{'}}$.

Bạn Hùng tham gia vào một khối diễu hành, mỗi bước Hùng tiến về hướng đông 30 cm. Để giữ vững đội hình, sau mỗi bước, tất cả mọi người tham gia trong khối diễu hành của Hùng cần dời tới vị trí mới là ảnh của vị trí cũ qua phép biến hình nào?

Trong Hình 1.6, tìm ảnh của các điểm M, N, P, Q, B qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Nếu phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{u}}$ biến điểm M thành điểm M' thì phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{\mathrm{-u}}}$ biến điểm M' thành điểm nào?

Ở mỗi bước của đội hình diễu hành, gọi vectơ dịch chuyển của mỗi người tham gia là vectơ có điểm gốc và điểm ngọn tương ứng là vị trí trước và sau khi bước của người đó. Để giữ vững đội hình, ở mỗi bước, các vectơ dịch chuyển của những người tham gia cần có mối quan hệ gì với nhau? 

Khi diễu hành, để đội hình được giữ vững, ở mỗi bước, những người tham gia cần tiến đều nhau về cùng một hướng. Điều này có gì liên quan tới Toán học?

Trong bảng quan sát quy luật điền các cặp (A, A'), (B, B'), (C, C'), ..., từ đó điền các kí hiệu N', P', Q', R', S' vào các vị trí thích hợp.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm I(1; 2). Xét phép biến hình f biến điểm I thành điểm I và biến mỗi điểm M khác I thành điểm M' sao cho I là trung điểm của MM'. Tìm tọa độ ảnh của điểm A(3; – 2) qua phép biến hình f.

Quan sát ba tấm ảnh hoa hồng ở Hình 1.4, hãy cho biết hình nào giống ảnh của hình ở giữa qua một phép co về trục.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép biến hình f biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M'(x + 1; y + 2).

a) Xét các điểm A(– 1; 5), B(2; 2), C(4; 0) thuộc ∆: x + y – 4 = 0. Xác định các ảnh của chúng qua f.

b) Chứng minh rằng nếu M(x₀; y₀) là điểm thuộc đường thẳng ∆: x + y – 4 = 0 thì ảnh M'(x₀ + 1; y₀ + 2) của nó thuộc đường thẳng ∆': x+ y – 7 = 0.  

Hoa và Hưng cùng chơi trò chơi sau: Hai bạn luân phiên nhau đặt các đồng xu có cùng kích thước lên trên một mặt mảnh giấy hình chữ nhật sao cho các xu nằm hoàn toàn trên mảnh giấy và xu đặt sau không chồng lên xu trước. Mỗi bạn, đến lượt mình được đặt một xu. Ai là người đầu tiên không còn chỗ để đặt xu là người thua cuộc. 

Trong một lần chơi, là người đặt xu trước, Hoa đặt đồng xu đầu tiên tại vị trí O ở chính giữa mảnh giấy, và sau đó, ở mỗi lượt đặt xu, nếu Hưng đặt đồng xu ở vị trí M thì Hoa đặt ở vị trí M' đối xứng với M qua O. Hỏi trong lần chơi nói trên, ai là người thắng cuộc? 

Đọc bản vẽ kĩ thuật trong Hình 9.

– Cho biết tên gọi của bản vẽ và tỉ lệ.

– Liệt kê các loại hình chiếu đã sử dụng.

– Liệt kê kích thước ba chiều của vật và kích thước khối hình học tạo thành.

Lập bản vẽ kĩ thuật trên khổ giấy A4 gồm ba hình chiếu và các kích thước của chi tiết cơ khí “Giá chữ L” có hình chiếu trục đo như Hình 8. Cho biết hình thoi biểu diễn một hình vuông có cạnh 10 mm.

Đọc bản vẽ kĩ thuật trong Hình 7.

– Cho biết tên gọi của bản vẽ và tỉ lệ.

– Liệt kê các loại hình chiếu đã sử dụng.

– Liệt kê kích thước ba chiều của vật và kích thước khối hình học tạo thành.

Vẽ hình chiếu vuông góc của vật thể có hình chiếu trục đo được cho trong Hình 6.

Trong bản vẽ biểu diễn hình trụ của Hình 5.

a) Khoảng cách giữa hai đường gióng nào cho ta biết chiều cao của hình trụ?

b) Khoảng cách giữa hai đường gióng nào cho ta biết độ dài đường kính đáy của hình trụ?

c) Nêu cách xác định điểm M₃ biểu diễn tâm M của đáy trên hình chiếu bằng khi biết các điểm M₁ và M₂ biểu diễn M trong hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh.

Vẽ hình chiếu vuông góc của vật thể có hình biểu diễn như Hình 4.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng đối với phép chiếu vuông góc?

A. Bảo toàn tính song song của các cạnh của vật chiếu.

B. Bảo toàn diện tích các mặt của vật chiếu.

C. Bảo toàn góc giữa các cạnh của vật chiếu.

D. Bảo toàn kích thước các cạnh của vật song song với mặt phẳng chiếu.

Hình, khối nào không được sử dụng để thiết kế chi tiết “đế đứng” có hình biểu diễn trong Hình 3.

A. Lăng trụ.

B. Hình hộp.

C. Hình chóp.

D. Hình trụ.

Tính thể tích của cái nêm có hình chiếu trục đo vuông góc đều trong Hình 2, cho biết khoảng cách giữa hai chấm biểu diễn độ dài thật 1 dm.

A. 36 dm³.

B. 24 dm³.

C. 18 dm³.

D. 9 dm³.

Mô tả nào sau đây đúng với hình, khối có hai hình chiếu vuông góc ở Hình 1?

A. Hình chóp cụt.

B. Hình lăng trụ.

C. Hình nón.

D. Hình nón cụt.

Số đo ba góc trục đo của hình chiếu trục đo vuông góc đều bằng nhau và bằng

A. 60°.

B. 90°.

C. 120°.

D. 135°.

Khẳng định nào sau đây là đúng với ba hệ số biến dạng p, q, r của hình chiếu trục đo vuông góc đều?

A. p = q ≠ r.

B. p = q ≠ r.

C. q = r ≠ p.

D. p = q = r.