Câu hỏi:

91 lượt xem
Tự luận

Bài 3.3 trang 37 Toán 10 Tập 1: Chứng minh các hệ thức sau:

a) sin2 α + cos2 α = 1;

b) 1+tan2α=1cos2α (α ≠ 90o);

c) 21+cot2α=1sin2α (0o < α < 180o).

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Lời giải:

a)

Chứng minh các hệ thức sau:  sin^2 α + cos^2 α = 1 (ảnh 1)

Gọi M(x; y) là điểm trên đường tròn đơn vị sao cho xOM^=α.

Ta có: OM = 1 (bán kính đường tròn đơn vị).

Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Ta có: x=cosαy=sinαx2=cos2αy2=sin2α (1)

Mà x=ONy=OP=MNx2=x2=ON2y2=y2=MN2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: sin2 α + cos2 α = ON2 + MN2 = OM2 = 1 (do ∆OMN vuông tại N).

Do đó sin2 α + cos2 α = 1 (đpcm).

b) Ta có: tanα=sinαcosα (α ≠ 90o)

1+tan2α=1+sin2αcos2α

=cos2αcos2α+sin2αcos2α=cos2α+sin2αcos2α.

Mà theo câu a) ta có: sin2 α + cos2 α = 1 với mọi góc α.

1+tan2α=1cos2α (đpcm)

c) Ta có: cotα=cosαsinα (0o < α < 180o)

1+cot2α=1+cos2αsin2α

=sin2αsin2α+cos2αsin2α=sin2α+cos2αsin2α.

Mà theo câu a) ta có: sin2 α + cos2 α = 1 với mọi góc α.

1+cot2α=1sin2α (đpcm).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ