Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x^2-2x$ với $x\in \left[0;3\right]$, có đồ thị như Hình 1.15.

a) Giá trị lớn nhất M của hàm số trên đoạn $\left[0;3\right]$ là bao nhiêu? Tìm $x_0$ sao cho $f\left(x_0\right)=M$.

b) Giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên đoạn $\left[0;3\right]$ là bao nhiêu? Tìm $x_0$ sao cho $f\left(x_0\right)=m$.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y=\sqrt{2x-x^2}$;

b) $y=-x+\frac{1}{x-1}$ trên khoảng $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$.

Xét hàm số $y=f\left(x\right)=x^3-2x^2+1$ trên đoạn $\left[-1;2\right]$, với đồ thị như Hình 1.16.

a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[-1;2\right]$.

b) Tính đạo hàm f’(x) và tìm các điểm $x\in \left(-1;2\right)$ mà $f^{\prime }\left(x\right)=0$.

c) Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút của đoạn $\left[-1;2\right]$ và tại các điểm x đã tìm ở câu b. So sánh số nhỏ nhất trong các giá trị này với $\underset{\left[-1;2\right]}{min}f\left(x\right)$, số lớn nhất trong các giá trị này với $\underset{\left[-1;2\right]}{max}f\left(x\right)$.

Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô hình hóa bằng hàm số $N\left(t\right)=-t^3+12t^2,0\le t\le 12,$ trong đó N là số người bị nhiễm bệnh (tính bằng trăm người) và t là thời gian (tuần).

a) Hãy ước tính số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương đó.

b) Đạo hàm N’(t) biểu thị tốc độ lây lan của virus (còn gọi là tốc độ truyền bệnh). Hỏi virus sẽ lây lan nhanh nhất khi nào?

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y=-x^2+4x+3$;
b) $y=x^3-2x^2+1$ trên $\left[0;+\mathrm{\infty }\right)$;
c) $y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$ trên $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$;
d) $y=\sqrt{4x-2x^2}$.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y=x^4-2x^2+3$;

b) $y=x.e^{-x}$;

c) $y=x\ln x$;

d) $y=\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}$.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y=2x^3-6x+3$ trên đoạn $\left[-1;2\right]$;

b) $y=x^4-3x^2+2$ trên đoạn $\left[0;3\right]$;

c) $y=x-\sin 2x$ trên đoạn $\left[0;\pi \right]$;

d) $y=\left(x^2-x\right)e^x$ trên đoạn $\left[0;1\right]$.

Trong các hình chữ nhật có chu vi là 24cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng $108c{m}^2$ như Hình 1.17. Tìm các kích thước của chiếc hộp sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.

Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích $1000c{m}^3$. Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá 1,2 nghìn đồng/$c{m}^2$, trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá 0,75 nghìn đồng/$c{m}^2$. Tìm các kích thước của bình để chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất.