Đồ thị trong Hình 1.38 là đồ thị của hàm số:

A. $y=x-\frac{1}{x+1}$.
B. $y=\frac{2x+1}{x+1}$.
C. $y=\frac{x^2-x+1}{x+1}$.
D. $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}$.

A. $y=\frac{x+2}{x+1}$.
B. $y=\frac{2x+1}{x+1}$.
C. $y=\frac{x-1}{x+1}$.
D. $y=\frac{x+3}{1-x}$.

 Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên$$\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{1;3\right\}$$, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Đường thẳng $y=1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
B. Đường thẳng $y=-1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
C. Đường thẳng $x=3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
D. Đường thẳng $x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+2x-2}{x+2}$ là

A. $y=-2$.

B. $y=1$.

C. $y=x+2$.

D. $y=x$.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ thỏa mãn: $\underset{x\to 2^{+}}{lim}f\left(x\right)=1;\underset{x\to 2^{-}}{lim}f\left(x\right)=1;\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=2$ và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=2$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Đường thẳng $x=2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

B. Đường thẳng $y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

C. Đường thẳng $y=1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

D. Đường thẳng $x=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

A. 0.

B. $e^3$.

C. $e^4$.

D. e. 

Giá trị cực tiểu của hàm số $y=x^2\ln x$ là
A. $\frac{1}{e}$.
B. $-\frac{1}{e}$.
C. $-\frac{1}{2e}$.
D. $\frac{1}{2e}$.

Hàm số nào dưới đây không có cực trị?
A. $y=\left|x\right|$.
B. $y=x^4$.
C. $y=-x^3+x$.
D. $y=\frac{2x-1}{x+1}$.

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên $\mathbb{R}$?
A. $y=-x^3+3x^2-9x$;
B. $y=-x^3+x+1$;
C. $y=\frac{x-1}{x-2}$;
D. $y=2x^2+3x+2$.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên khoảng (a; b). Phát biểu nào dưới đây là đúng?
A. Nếu $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$ với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên (a; b).
B. Nếu $f^{\prime }\left(x\right)>0$ với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên (a; b).
C. Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên (a; b) khi và chỉ khi $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$ với mọi x thuộc (a; b).
D. Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên (a; b) khi và chỉ khi $f^{\prime }\left(x\right)>0$ với mọi x thuộc (a; b).

Giả sử hàm cầu đối với một loại hàng hóa được cho bởi công thức $p=\frac{354}{1+0,01x},x\ge 0$, trong đó p là giá bán (nghìn đồng) của mỗi đơn vị sản phẩm và x là số lượng đơn vị sản phẩm đã bán.

a) Tìm công thức tính x như là hàm số của p. Tìm tập xác định của hàm số này. Tính số đơn vị sản phẩm đã bán khi giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là 240 nghìn đồng.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $x=x\left(p\right)$. Từ đồ thị đã vẽ, hãy cho biết:
- Số lượng đơn vị sản phẩm bán được sẽ thay đổi thế nào khi giá bán p tăng;
- Ý nghĩa thực tiễn của giới hạn $\underset{p\to 0^{+}}{lim}x\left(p\right)$.

Người quản lí của một khu chung cư có 100 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 8 triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?

Giả sử chi phí (tính bằng trăm nghìn đồng) để sản xuất x đơn vị hàng hóa nào đó là: $C\left(x\right)=23000+50x-0,5x^2+0,00175x^3$

a) Tìm hàm chi phí biên.

b) Tìm C’(100) và giải thích ý nghĩa của nó.

c) So sánh C’(100) với chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 101.

Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho tọa độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm t (giây) là $y=t^3-12t+3,t\ge 0$.

a) Tìm các hàm vận tốc và gia tốc.
b) Khi nào thì hạt chuyển động lên trên và khi nào thì hạt chuyển động xuống dưới?
c) Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian $0\le t\le 3$.
d) Khi nào hạt tăng tốc? Khi nào hạt giảm tốc?

Một nhà sản xuất trung bình bán được 1 000 ti vi màn hình phẳng mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 ti vi mỗi tuần.

a) Tìm hàm cầu.

b) Công ty nên giảm giá bao nhiêu cho người mua để doanh thu là lớn nhất?

c) Nếu hàm chi phí hằng tuần là $C\left(x\right)=12000-3x$ (triệu đồng), trong đó x là số ti vi bán ra trong tuần, nhà sản xuất nên đặt giá bán như thế nào để lợi nhuận là lớn nhất?

Anh An chèo thuyền từ điểm A trên bờ một con sông thẳng rộng 3km và muốn đến điểm B ở bờ đối diện cách 8km về phía hạ lưu càng nhanh càng tốt (H.1.35). Anh An có thể chèo thuyền trực tiếp qua sông đến điểm C rồi chạy bộ đến B, hoặc anh có thể chèo thuyển thẳng đến B, hoặc anh cũng có thể chèo thuyền đến một điểm D nào đó giữa C và B rồi chạy bộ đến B. Nếu vận tốc chèo thuyền là 6km/h và vận tốc chạy bộ là 8km/h thì anh An phải chèo thuyền sang bờ ở điểm nào để đến B càng sớm càng tốt? (Giả sử rằng vận tốc của nước là không đáng kể so với vận tốc chèo thuyền của anh An).

Khi máu di chuyển từ tim qua các động mạch chính rồi đến các mao mạch và quay trở lại qua các tĩnh mạch, huyết áp tâm thu (tức là áp lực của máu lên động mạch khi tim co bóp) liên tục giảm xuống. Giả sử một người có huyết áp tâm thu P (tính bằng mmHg) được cho bởi hàm số $P\left(t\right)=\frac{25t^2+125}{t^2+1},0\le t\le 10$, trong đó thời gian t được tính bằng giây. Tính tốc độ thay đổi của huyết áp sau 5 giây kể từ khi máu rời tim.

Trong Vật lí, ta biết rằng khi mắc song song hai điện trở $R_1$ và $R_2$ thì điện trở tương đương R của mạch điện được tính theo công thức $R=\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}$ (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).

Giả sử một điện trở $8\mathrm{\Omega }$ được mắc song song với một biến trở như Hình 1.33. Nếu điện trở đó được kí hiệu là $x\left(\mathrm{\Omega }\right)$ thì điện trở tương đương R là hàm số của x. Vẽ đồ thị của hàm số $y=R\left(x\right),x>0$ và dựa vào đồ thị đã vẽ, hãy cho biết:

a) Điện trở tương đương của mạch thay đổi thế nào khi x tăng.

b) Tại sao điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá $8\mathrm{\Omega }$.

Một cốc chứa 30ml dung dịch KOH (potassium hydroxide) với nồng độ 100mg/ml. Một bình chứa dung dịch KOH khác chứa nồng độ 8mg/ml được trộn vào cốc.

a) Tính nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn x (ml) từ bình chứa, kí hiệu là C(x).

b) Coi hàm C(x) là hàm số xác định với $x\ge 0$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.

c) Giải thích tại sao nồng độ KOH trong cốc giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 8mg/ml.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=\frac{2x^2-x+4}{x-1}$;
b) $y=\frac{x^2+2x+1}{x+3}$.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=\frac{2x+1}{x+1}$;

b) $y=\frac{x+3}{1-x}$.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=-x^3+3x+1$;
b) $y=x^3+3x^2-x-1$.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{-x^2+3x-1}{x-2}$.

Một bể chứa ban đầu có 200 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 40 lít nước, đồng thời cho vào bể 20 gam chất khử trùng (hòa tan).

a) Tính thể tích nước và khối lượng chất khử trùng có trong bể sau t phút. Từ đó tính nồng độ chất khử trùng (gam/lít) trong bể sau t phút.

b) Coi nồng độ chất khử trùng là hàm số f(t) với $t\ge 0$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.

c) Hãy giải thích tại sao nồng độ chất khử tăng theo t nhưng không vượt ngưỡng 0,5 gam/lít.

Giải bài toán ở tình huống mở đầu, coi f(x) là hàm số xác định với $x\ge 1$.

Một đơn vị sản xuất hàng tiêu dùng ước tính chi phí để sản xuất x đơn vị sản phẩm là $C\left(x\right)=2x+45$ (triệu đồng). Khi đó, chi phí trung bình cho mỗi đơn vị sản phẩm là $f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}$. Hãy giải thích tại sao chi phí trung bình giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 2 triệu đồng/ sản phẩm. Điều này thể hiện trên đồ thị của hàm số f(x) trong Hình 1.27 như thế nào?

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=-2x^3+3x^2-5x$. 

Cho hàm số $y=x^2-4x+3$. Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

a) Tính y’ và tìm các điểm tại đó $y^{\prime }=0$.

b) Xét dấu y’ để tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và cực trị của hàm số.

c) Tính $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y$, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y$ và lập bảng biến thiên của hàm số.

d) Vẽ đồ thị của hàm số và nhận xét về tính đối xứng của đồ thị.

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng $144m^2$. Biết độ dài một cạnh của mảnh vườn là x (m).

a) Viết biểu thức tính chu vi P(x) (mét) của mảnh vườn.

b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số P(x).

Một công ty sản xuất đồ gia dụng ước tính chi phí để sản xuất x (sản phẩm) là $C\left(x\right)=2x+50$ (triệu đồng). Khi đó, $f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}$ là chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm. Chứng tỏ rằng hàm số f(x) giảm và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=2$. Tính chất này nói lên điều gì?

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
a) $y=\frac{3-x}{2x+1}$;
b) $y=\frac{2x^2+x-1}{x+2}$.

Đường thẳng $x=1$ có phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+2x-3}{x-1}$ không?

Hình 1.26 là đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x^2}{x^2-1}$

Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x^2-4x+2}{1-x}$.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x-1+\frac{2}{x+1}$ có đồ thị (C) và đường thẳng $y=x-1$ như Hình 1.24.

a) Với $x>-1$, xét điểm M (x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng $y=x-1$. Có nhận xét gì về khoảng cách MH khi $x\to +\mathrm{\infty }$?

b) Chứng tỏ rằng $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[f\left(x\right)-\left(x-1\right)\right]=0$. Tính chất này thể hiện trên Hình 1.24 như thế nào?

Để loại bỏ p% một loài tảo độc khỏi hồ nước, người ta ước tính chi phí bỏ ra là $C\left(p\right)=\frac{45p}{100-p}$ (triệu đồng), với $0\le p<100$. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số C(p) và nêu ý nghĩa của đường tiệm cận này.