a) $$A\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - x - 4 + 4{x^2} - x$$

              $= {x^3} + \left( { - 3{x^2} + 4{x^2}} \right) + \left( { - x - x} \right) - 4$

              $= {x^3} + {x^2} - 2x - 4$.

$$B\left( x \right) = {x^4} + 2{x^2} - 5x - {x^2} + 6 + {x^3} - {x^4}$$

         $= \left( {{x^4} - {x^4}} \right) + {x^3} + \left( {2{x^2} - {x^2}} \right) - 5x + 6$

         $= {x^3} + {x^2} - 5x + 6$.

b) Đa thức $A\left( x \right)$ có bậc là 3 và hệ số cao nhất là 1.

c) $M\left( x \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)$

$M\left( x \right) = \left( {{x^3} + {x^2} - 2x - 4} \right) - \left( {{x^3} + {x^2} - 5x + 6} \right)$

          $= {x^3} + {x^2} - 2x - 4 - {x^3} - {x^2} + 5x - 6$

          $= \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + \left( {{x^2} - {x^2}} \right) + \left( { - 2x + 5x} \right) + \left( { - 4 - 6} \right)$

          $= 3x - 10$

Ta có $M\left( x \right) = 0$ tức là $3x - 10 = 0$, suy ra $x = \frac{{10}}{3}$.

Vậy đa thức $M\left( x \right)$ có nghiệm là $x = \frac{{10}}{3}$.

a) Xét $\Delta ADB$ và $\Delta AEC$ có:

$\widehat {ADB} = \widehat {AEC} = 90^\circ$;

$AB = AC$ (do $\Delta ABC$ cân tại $A$);

$\widehat {BAC}$ là góc chung.

Do đó $\Delta ADB = \Delta AEC$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $AD = AE$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $AB = AC$ (chứng minh trên)

Nên $AB - AE = AC - AD$ hay $BE = CD$.

b) Do $\Delta ADB = \Delta AEC$ (câu a) nên $\widehat {ABD} = \widehat {ACE}$ (hai góc tương ứng)

Xét $\Delta BHE$ và $\Delta CHD$ có:

$\widehat {BEH} = \widehat {CDH} = 90^\circ$;

$BE = CD$ (chứng minh câu a);

$\widehat {EBH} = \widehat {DCH}$(chứng minh trên).

Do đó $\Delta BHE = \Delta CHD$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra $HB = HC$ (hai cạnh tương ứng)

Tam giác $HBC$ có $HB = HC$ nên là tam giác cân tại $H$.

Xét $\Delta HDC$ vuông tại $D$ có $HC$ là cạnh huyền nên là cạnh có độ dài lớn nhất.

Do đó $HC > HD$.

Mà $HB = HC$ (chứng minh trên) nên $HB > HD.$

c) Gọi $$P$$ là giao điểm của $$HI$$ và $$BC$$.

$\Delta HBC$ có hai đường trung tuyến $$BM$$ và $$CN$$ cắt nhau tại $$I$$.

Do đó $$I$$ là trọng tâm của $\Delta HBC$ nên $$HP$$ là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $$H$$ của tam giác.

Mà $\Delta HBC$ cân tại $H$ nên đường trung tuyến $$HP$$ đồng thời là đường cao của tam giác.

Suy ra $HP \bot BC$ hay $HI \bot BC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

• $\Delta ABC$ có $$H$$ là giao điểm của hai đường cao $$BD$$ và $$CE$$ nên $$H$$ là trực tâm của $\Delta ABC$.

Do đó $AH \bot BC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra ba điểm $A,H,I$ cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với $$BC$$ tại $P$.

Hay ba điểm $A,H,I$ thẳng hàng.

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

Do đó $\frac{{2{n^2} - n}}{{n + 1}} = 2n - 3 + \frac{3}{{n + 1}}$ (với $$n + 1 \ne 0$$).

Với $n \in \mathbb{Z}$ để $2{n^2} - n$ chia hết cho $n + 1$ thì $$3 \vdots \left( {n + 1} \right)$$

Điều này xảy ra khi và chỉ khi $$n + 1 \in$$ Ư$$\left( 3 \right) = \left\{ { - 1;1; - 3;3} \right\}$$