Câu hỏi:
73 lượt xemCho cân tại có các đường cao và cắt nhau tại .
a) Chứng minh và .
b) Chứng minh là tam giác cân. So sánh và .
c) Gọi là trung điểm của , là trung điểm của , là giao điểm của và . Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Hướng dẫn giải:
a) Xét và có:
;
(do cân tại );
là góc chung.
Do đó (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra (hai cạnh tương ứng).
Mà (chứng minh trên)
Nên hay .
b) Do (câu a) nên (hai góc tương ứng)
Xét và có:
;
(chứng minh câu a);
(chứng minh trên).
Do đó (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)
Suy ra (hai cạnh tương ứng)
Tam giác có nên là tam giác cân tại .
Xét vuông tại có là cạnh huyền nên là cạnh có độ dài lớn nhất.
Do đó .
Mà (chứng minh trên) nên
c) Gọi là giao điểm của và .
có hai đường trung tuyến và cắt nhau tại .
Do đó là trọng tâm của nên là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh của tam giác.
Mà cân tại nên đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác.
Suy ra hay
• có là giao điểm của hai đường cao và nên là trực tâm của .
Do đó
Từ và suy ra ba điểm cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với tại .
Hay ba điểm thẳng hàng.
Lời giải
Hướng dẫn giải:
a) Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta AEC\) có:
\(\widehat {ADB} = \widehat {AEC} = 90^\circ \);
\(AB = AC\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\));
\(\widehat {BAC}\) là góc chung.
Do đó \(\Delta ADB = \Delta AEC\) (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra \(AD = AE\) (hai cạnh tương ứng).
Mà \(AB = AC\) (chứng minh trên)
Nên \(AB - AE = AC - AD\) hay \(BE = CD\).
b) Do \(\Delta ADB = \Delta AEC\) (câu a) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (hai góc tương ứng)
Xét \(\Delta BHE\) và \(\Delta CHD\) có:
\(\widehat {BEH} = \widehat {CDH} = 90^\circ \);
\(BE = CD\) (chứng minh câu a);
\(\widehat {EBH} = \widehat {DCH}\)(chứng minh trên).
Do đó \(\Delta BHE = \Delta CHD\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)
Suy ra \(HB = HC\) (hai cạnh tương ứng)
Tam giác \(HBC\) có \(HB = HC\) nên là tam giác cân tại \(H\).
Xét \(\Delta HDC\) vuông tại \(D\) có \(HC\) là cạnh huyền nên là cạnh có độ dài lớn nhất.
Do đó \(HC > HD\).
Mà \(HB = HC\) (chứng minh trên) nên \(HB > HD.\)
c) Gọi \[P\] là giao điểm của \[HI\] và \[BC\].
\(\Delta HBC\) có hai đường trung tuyến \[BM\] và \[CN\] cắt nhau tại \[I\].
Do đó \[I\] là trọng tâm của \(\Delta HBC\) nên \[HP\] là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh \[H\] của tam giác.
Mà \(\Delta HBC\) cân tại \(H\) nên đường trung tuyến \[HP\] đồng thời là đường cao của tam giác.
Suy ra \(HP \bot BC\) hay \(HI \bot BC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
• \(\Delta ABC\) có \[H\] là giao điểm của hai đường cao \[BD\] và \[CE\] nên \[H\] là trực tâm của \(\Delta ABC\).
Do đó \(AH \bot BC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra ba điểm \(A,H,I\) cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với \[BC\] tại \(P\).
Hay ba điểm \(A,H,I\) thẳng hàng.
Tung một đồng xu cân đối. Xác suất của biến cố “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa” là