Bài 12 trang 38 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Hướng dẫn giải. a) Xét hàm số y=2x+1x−1. 1. Tập xác định. D = ℝ {1}. 2. Sự biến thiên. ● Chiều biến thiên. Đạo hàm y' = −3x−12. Vì y' < 0 với mọi x ≠ 1 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 1) và (1; + ∞). ● Tiệm cận. Ta có limx→−∞y=limx→−∞2x+1x−1=2; limx→+∞y=limx→+∞2x+1x−1=2. Suy ra đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Ta có limx→1−y=limx→1−2x+1x−1=−∞; limx→1+y=limx→1+2x+1x−1=+∞. Suy ra đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. ● Bảng biến thiên. 3. Đồ thị. Với x = 0 thì y = – 1 nên đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; – 1). Với y = 0 thì x = −12 nên đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm −12; 0. Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 2). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = 2. b) Ta có A(0; – 1), I(1; 2). Vì B đối xứng với A qua I nên I là trung điểm của AB. Khi đó, tọa độ của điểm B là xB=2xI−xA=2⋅1−0=2yB=2yI−yA=2⋅2−−1=5. Suy ra B(2; 5). Ta có 2⋅2+12−1=5, do đó điểm B(2; 5) thuộc đồ thị hàm số y=2x+1x−1.

Câu hỏi:

44 lượt xem

Tự luận

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ .

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Gọi A là giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy, I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Tìm điểm B đối xứng với A qua I. Chứng minh rằng điểm B cũng thuộc đồ thị hàm số này.

Xem đáp án

Xem thêm: Giải Toán 12 (Chân trời sáng tạo) Bài tập cuối chương 1 trang 37

Lời giải

Hướng dẫn giải:

a) Xét hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ .

1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = $\frac{- 3}{{(x - 1)}^{2}}$ . Vì y' < 0 với mọi x ≠ 1 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 1) và (1; + ∞).

● Tiệm cận:

Ta có $\lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 1}{x - 1} = 2; \lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{2 x + 1}{x - 1} = 2$ . Suy ra đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có $\lim_{x \to 1^{-}} y = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{2 x + 1}{x - 1} = - \infty; \lim_{x \to 1^{+}} y = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{2 x + 1}{x - 1} = + \infty$ . Suy ra đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

Bài 12 trang 38 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

3. Đồ thị:

Với x = 0 thì y = – 1 nên đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; – 1).

Với y = 0 thì x = $- \frac{1}{2}$ nên đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm $(- \frac{1}{2}; 0)$ .

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Bài 12 trang 38 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 2). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = 2.

b) Ta có A(0; – 1), I(1; 2).

Vì B đối xứng với A qua I nên I là trung điểm của AB.

Khi đó, tọa độ của điểm B là $\{\begin{cases} x_{B} = 2 x_{I} - x_{A} = 2 \cdot 1 - 0 = 2 \\ y_{B} = 2 y_{I} - y_{A} = 2 \cdot 2 - (- 1) = 5 \end{cases}$ . Suy ra B(2; 5).

Ta có $\frac{2 \cdot 2 + 1}{2 - 1} = 5$ , do đó điểm B(2; 5) thuộc đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ .

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Câu hỏi:

Lời giải

Hướng dẫn giải:

ĐỀ THI LIÊN QUAN:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM