Bài 13 trang 38 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Hướng dẫn giải. a) Xét hàm số y=x2+4x−1x−1. 1. Tập xác định. D = ℝ {1}. 2. Sự biến thiên. ● Chiều biến thiên. Đạo hàm y' = x2−2x−3x−12. Ta có y' = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = 3. Trên các khoảng (– ∞; – 1) và (3; + ∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó. Trên các khoảng (– 1; 1) và (1; 3), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. ● Cực trị. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và yCT = 10. Hàm số đạt cực đại tại x = – 1 và yCĐ = 2. ● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận. limx→−∞y=limx→−∞x2+4x−1x−1=−∞; limx→+∞y=limx→+∞x2+4x−1x−1=+∞ Ta có a=limx→+∞x2+4x−1xx−1=1 và b=limx→+∞x2+4x−1x−1−x=limx→+∞5x−1x−1=5. Suy ra đường thẳng y = x + 5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. Ta có limx→1−y=limx→1−x2+4x−1x−1=−∞; limx→1+y=limx→1+x2+4x−1x−1=+∞. Suy ra đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. ● Bảng biến thiên. 3. Đồ thị. Ta có y = 0 ⇔ x2+4x−1x−1=0 ⇔ x = −2+5 hoặc x = −2−5. Vậy đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm −2−5; 0 và điểm −2+5; 0. Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; 1). Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 6). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = x + 5. b) Xét hàm số y=x2+4x−1x−1 với x ∈ [2; 4]. Trên khoảng (2; 4), y' = 0 khi x = 3. Ta có y(2) = 11; y(3) = 10; y(4) = 313. Vậy max2; 4y=11 tại x = 2 và min2; 4y=10 tại x = 3.

Câu hỏi:

58 lượt xem

Tự luận

Cho hàm số $y = \frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1}$ .

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [2; 4].

Xem đáp án

Xem thêm: Giải Toán 12 (Chân trời sáng tạo) Bài tập cuối chương 1 trang 37

Lời giải

Hướng dẫn giải:

a) Xét hàm số $y = \frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1}$ .

1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = $\frac{x^{2} - 2 x - 3}{{(x - 1)}^{2}}$ . Ta có y' = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = 3.

Trên các khoảng (– ∞; – 1) và (3; + ∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng (– 1; 1) và (1; 3), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và yCT = 10.

Hàm số đạt cực đại tại x = – 1 và yCĐ = 2.

● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

$\lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1} = - \infty; \lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1} = + \infty$

Ta có $a = \lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} + 4 x - 1}{x (x - 1)} = 1$ và $b = \lim_{x \to + \infty} (\frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1} - x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{5 x - 1}{x - 1} = 5$ .

Suy ra đường thẳng y = x + 5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có $\lim_{x \to 1^{-}} y = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1} = - \infty; \lim_{x \to 1^{+}} y = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1} = + \infty$ . Suy ra đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

Bài 13 trang 38 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

3. Đồ thị:

Ta có y = 0 ⇔ $\frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1} = 0$ ⇔ x = $- 2 + \sqrt{5}$ hoặc x = $- 2 - \sqrt{5}$ .

Vậy đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm $(- 2 - \sqrt{5}; 0)$ và điểm $(- 2 + \sqrt{5}; 0)$ .

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; 1).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Bài 13 trang 38 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 6).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = x + 5.

b) Xét hàm số $y = \frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1}$ với x ∈ [2; 4].

Trên khoảng (2; 4), y' = 0 khi x = 3.

Ta có y(2) = 11; y(3) = 10; y(4) = $\frac{31}{3}$ .

Vậy $\max_{[2; 4]} y = 11$ tại x = 2 và $\min_{[2; 4]} y = 10$ tại x = 3.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Câu hỏi:

Lời giải

Hướng dẫn giải:

ĐỀ THI LIÊN QUAN:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM