a) y = 2x3 – 3x2 + 1

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

● Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = +$\infty$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = - $\infty$.

● y' = 6x2 – 6x;

y' = 0 ⇔ 6x2 – 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.

● Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; 0) và (1; + ∞); nghịch biến trên khoảng (0; 1).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 1; đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = 0.

3) Đồ thị

● Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 1).

● Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình 2x3 – 3x2 + 1 = 0 ta được x = $-\frac{1}{2}$ hoặc x = 1.

Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại các điểm $\left(-\frac{1}{2}; 0\right)$, (1; 0).

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (1; 0), (0; 1), $\left(-\frac{1}{2}; 0\right)$, (– 1; – 4) và $\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$.

Vậy đồ thị hàm số y = 2x3 – 3x2 + 1 được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I$\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$.

b) y = – x3 + 3x2 – 1

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

● Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = – ∞, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = + ∞.

● y' = – 3x2 + 6x;

y' = 0 ⇔ – 3x2 + 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

● Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; 2); nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 0) và (2; + ∞).

Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 3; đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = – 1.

3) Đồ thị

● Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; – 1).

● Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình – x3 + 3x2 – 1 = 0, ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm.

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 1; 3), (0; – 1), (1; 1), (2; 3) và (3; – 1).

Vậy đồ thị hàm số y = – x3 + 3x2 – 1 được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I(1; 1).

c) Ta có y = (x – 2)3 + 4 = x3 – 6x2 + 12x – 8 + 4 = x3 – 6x2 + 12x – 4.

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

● Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = +$\infty$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = -$\infty$ .

● y' = 3x2 – 12x + 12 = 3(x – 2)2;

y' ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.

y' = 0 khi x = 2.

● Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

● Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; – 4).

● Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình x3 – 6x2 + 12x – 4 = 0, ta thấy phương trình có 1 nghiệm nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm.

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; – 4), (1; 3), (2; 4) và (3; 5).

Vậy đồ thị hàm số y = (x – 2)3 + 4 được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I(2; 4).

d) y = – x3 + 3x2 – 3x + 2

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

● Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = – ∞, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = + ∞.

● y' = – 3x2 + 6x – 3 = – 3(x – 1)2 ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ;

y' = 0 khi x = 1.

● Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (– ∞; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

● Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 2).

● Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình – x3 + 3x2 – 3x + 2 = 0 ta được x = 2.

Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm (2; 0).

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 2), (2; 0) và (1; 1).

Vậy đồ thị hàm số y = – x3 + 3x2 – 3x + 2 được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I(1; 1).

e) $y = \frac{1}{3}{x}^3 + x^2 + 2x +1$

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

● Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = + ∞, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = - ∞.

● y' = x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ;

● Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (– ∞; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

● Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 1).

● Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình $\frac{1}{3}{x}^3 + x^2 + 2x +1$ = 0 ta thấy có 1 nghiệm nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm.

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 1), $\left(-1; -\frac{1}{3}\right)$.

Vậy đồ thị hàm số y = $\frac{1}{3}{x}^3 + x^2 + 2x +1$ được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I$\left(-1; -\frac{1}{3}\right)$.

g) y = – x3 – 3x

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

● Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = - ∞, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = + ∞.

● y' = – 3x2 – 3 = – 3(x2 + 1) < 0 với mọi x ∈ ℝ;

● Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (– ∞; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

● Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0).

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 0), (– 1; 4) và (1; – 4).

Vậy đồ thị hàm số y = – x3 – 3x được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm O(0; 0).