Câu hỏi:

117 lượt xem
Tự luận

Cho tam giác ABCABC có ba góc nhọn. Các điểm M,N,PM,N,P lần lượt là trung điểm của cạnh BC,AB,ACBC,{\rm{ }}AB,{\rm{ }}AC. Gọi OO là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABCABC. Trên tia đối của tia MOMO lấy điểm DD sao cho MD=MOMD = MO. Trên tia đối của tia NONO lấy điểm FF sao cho NF=NONF = NO. Trên tia đối của tia POPO lấy điểm EE sao cho PE=POPE = PO.

a) Chứng minh ΔANO=ΔBNF\Delta ANO = \Delta BNF, từ đó suy ra AO=BFAO = BFAO//BFAO\,{\rm{//}}\,BF.

b) Chứng minh hình lục giác AFBDCEAFBDCE có 6 cạnh bằng nhau.

c) Chứng minh ΔABC = ΔDEF\Delta ABC{\rm{  =  }}\Delta DEF.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải:

a) Xét ΔANO\Delta ANO và ΔBNF\Delta BNF có:

ANO^=BNF^=90\widehat {ANO} = \widehat {BNF} = 90^\circ ;

NA=NBNA = NB (do NN là trung điểm của ABAB);

NO=NFNO = NF (giả thiết).

Do đó ΔANO=ΔBNF\Delta ANO = \Delta BNF (hai cạnh góc vuông)

Suy ra AO=BFAO = BF (hai cạnh tương ứng) và NAO^=NBF^\widehat {NAO} = \widehat {NBF} (hai góc tương ứng).

Lại có hai góc NAO^\widehat {NAO} và NBF^\widehat {NBF} ở vị trí so le trong nên AO//BFAO\,{\rm{//}}\,BF.

b) Chứng minh tương tự câu a, ta có ΔAPO=ΔCPE\Delta APO = \Delta CPE (hai cạnh góc vuông).

Do đó AO=CEAO = CE (hai cạnh tương ứng).

Mà AO=BFAO = BF (câu a) nên BF=CE=AOBF = CE = AO.

Tương tự, ta cũng chứng minh được:

• AE=BD=COAE = BD = CO;

• AF=CD=BOAF = CD = BO.

Mặt khác, OO là giao điểm ba đường trung trực của ΔABC\Delta ABC nên OO cách đều ba đỉnh của tam giác, hay OA=OB=OCOA = OB = OC.

Do đó AF=FB=BD=DC=CE=EA=OA=OB=OCAF = FB = BD = DC = CE = EA = OA = OB = OC nên hình lục giác AFBDCEAFBDCE có 6 cạnh bằng nhau.

c) Ta có ΔAPO=ΔCPE\Delta APO = \Delta CPE (câu b) nên PAO^=PCE^\widehat {PAO} = \widehat {PCE} (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AO//CEAO\,{\rm{//}}\,CE.

Lại có AO//BFAO\,{\rm{//}}\,BF (câu a) nên BF//CEBF\,{\rm{//}}\,CE.

Suy ra BFC^=ECF^\widehat {BFC} = \widehat {ECF} (hai góc so le trong).

Xét ΔBCF\Delta BCF và ΔEFC\Delta EFC có:

BF=ECBF = EC (câu b);

BFC^=ECF^\widehat {BFC} = \widehat {ECF} (chứng minh trên);

FCFC là cạnh chung.

Do đó ΔBCF=ΔEFC  (c.g.c)\Delta BCF = \Delta EFC\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)

Suy ra BC=EFBC = EF (hai cạnh tương ứng).

Tương tự ta cũng chứng minh được AB=DEAB = DE và AC=DFAC = DF.

Xét ΔABC\Delta ABC và ΔDEF\Delta DEF có:

AB=DE;AC=DF;BC=EFAB = DE;AC = DF;BC = EF (chứng minh trên).

Do đó ΔABC=ΔDEF  (c.c.c)\Delta ABC = \Delta DEF\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.c}}{\rm{.c}}} \right).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 5:

Biểu thức ab3a - {b^3} được phát biểu bằng lời là

Lập phương của hiệu aa và bb;
Hiệu của aa và bình phương của bb;
Hiệu của aa và bb;
Hiệu của aa và lập phương của bb.

1 năm trước 84 lượt xem