Giả sử un là số hạng thứ n của dãy số (un) và Un = (1+ căn ) ^ n

Hướng dẫn giải. a) Ta có an + 2 – bn + 2 = an + 1.a − bn + 1.b = an + 1.a + an + 1.b − bn + 1.b − bn + 1.a − an + 1.b + bn + 1.a = an + 1.(a + b) − bn + 1.(a + b) – ab(an − bn) = (an + 1 − bn + 1).(a + b) – ab(an − bn) (*) Có u1=1+51−1−51215=2525=1. u2=1+52−1−52225=4545=1. Áp dụng (*), ta có. un+2=1+5n+2−1−5n+22n+25 =1+5n+1−1−5n+12n+15+1+5n−1−5n2n5 = un+1 + un. Vậy un + 2 = un+1 + un. Do đó (un) là dãy Fibonacci. b) Ta có bảng sau n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 un 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 un+1un 1 2 32 53 85 138 2113 3421 5534 8955 Ta có limn→+∞un+1un=limn→+∞1+5n+1−1−5n+12n+151+5n−1−5n2n5

Câu hỏi:

64 lượt xem

Tự luận

Giả sử u_n là số hạng thứ n của dãy số (u_n) và $u_{n} = \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{n} - {(1 - \sqrt{5})}^{n}}{2^{n} \sqrt{5}}$ .

a) Chứng tỏ rằng u₁ = 1, u₂ = 1 và u_{n + 2} = u_{n + 1} + u_n với mọi n $\in$ ℕ^*. Từ đó suy ra (u_n) là dãy số Fibonacci.

b) Viết 11 số hạng đầu tiên của dãy Fibonacci và 10 tỉ số $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ đầu tiên.

Tính $\lim_{n \to + \infty} \frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ .

Xem đáp án

Xem thêm: Giải SBT Toán 11 (Kết nối tri thức) Bài tập ôn tập cuối năm

Lời giải

Hướng dẫn giải:

a) Ta có a^{n + 2} – b^{n + 2} = a^{n + 1}.a − b^{n + 1}.b

= a^{n + 1}.a + a^{n + 1}.b − b^{n + 1}.b − b^{n + 1}.a − a^{n + 1}.b + b^{n + 1}.a

= a^{n + 1}.(a + b) − b^{n + 1}.(a + b) – ab(aⁿ − bⁿ)

= (a^{n + 1} − b^{n + 1}).(a + b) – ab(aⁿ − bⁿ) (*)

Có $u_{1} = \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{1} - {(1 - \sqrt{5})}^{1}}{2^{1} \sqrt{5}}$ $= \frac{2 \sqrt{5}}{2 \sqrt{5}} = 1$ .

$u_{2} = \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{2} - {(1 - \sqrt{5})}^{2}}{2^{2} \sqrt{5}}$ $= \frac{4 \sqrt{5}}{4 \sqrt{5}} = 1$ .

Áp dụng (*), ta có:

$u_{n + 2} = \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{n + 2} - {(1 - \sqrt{5})}^{n + 2}}{2^{n + 2} \sqrt{5}}$

Giả sử un là số hạng thứ n của dãy số (un)

$= \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{n + 1} - {(1 - \sqrt{5})}^{n + 1}}{2^{n + 1} \sqrt{5}} + \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{n} - {(1 - \sqrt{5})}^{n}}{2^{n} \sqrt{5}}$ = u_n+1 + u_n.

Vậy u_{n + 2} = u_n+1 + u_n. Do đó (u_n) là dãy Fibonacci.

b) Ta có bảng sau

u_n

\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}

\frac{3}{2}

\frac{5}{3}

\frac{8}{5}

\frac{13}{8}

\frac{21}{13}

\frac{34}{21}

\frac{55}{34}

\frac{89}{55}

Ta có $\lim_{n \to + \infty} \frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ $= \lim_{n \to + \infty} \frac{\frac{{(1 + \sqrt{5})}^{n + 1} - {(1 - \sqrt{5})}^{n + 1}}{2^{n + 1} \sqrt{5}}}{\frac{{(1 + \sqrt{5})}^{n} - {(1 - \sqrt{5})}^{n}}{2^{n} \sqrt{5}}}$

Giả sử un là số hạng thứ n của dãy số (un)

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Thời gian (giờ)	[0; 0,5)	[0,5; 1)	[1; 1,5)	[1,5; 2)	[2; 2,5)
Số học sinh	2	5	8	6	4

Mức giá (triệu đồng/m²)	[10; 15)	[15; 20)	[20; 25)	[25; 30)	[30; 35)
Số khách hàng	15	25	38	29	13

Câu hỏi:

Lời giải

Hướng dẫn giải:

ĐỀ THI LIÊN QUAN:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM