Câu hỏi:
54 lượt xemCho đa thức .
a) Thu gọn và sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Tìm bậc và hệ số cao nhất của đa thức ;
c) Tìm đa thức sao cho , biết . Tìm nghiệm của đa thức .
Lời giải
Hướng dẫn giải:
a) \(A\left( x \right) = - \frac{5}{3}{x^2} + \frac{3}{4}{x^4} + 2x - \frac{7}{3}{x^2} - 2 + 4x + \frac{1}{4}{x^4}\)
\( = \left( {\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} \right){x^4} + \left( { - \frac{5}{3} - \frac{7}{3}} \right){x^2} + \left( {2 + 4} \right)x - 2\)
\( = {x^4} - 4{x^2} + 6x - 2\).
b) Đa thức \(A\left( x \right)\) có bậc 4 và hệ số cao nhất là 1.
c) Ta có \(A\left( x \right) + C\left( x \right) = B\left( x \right)\).
Suy ra \(C\left( x \right) = B\left( x \right) - A\left( x \right)\)
\( = \left( {{x^4} - 3{x^2} + 2x + 1} \right) - \left( {{x^4} - 4{x^2} + 6x - 2} \right)\)
\( = {x^4} - 3{x^2} + 2x + 1 - {x^4} + 4{x^2} - 6x + 2\)
\( = {x^2} - 4x + 3\).
Để tìm nghiệm của đa thức \(C\left( x \right)\), ta cho \(C\left( x \right) = 0\)
Do đó \({x^2} - 4x + 3 = 0\)
\({x^2} - x - 3x + 3 = 0\)
\(x\left( {x - 1} \right) - 3\left( {x - 1} \right) = 0\)
\(\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\)
Suy ra \(x = 3\) hoặc \(x = 1\).
Vậy nghiệm của đa thức \(C\left( x \right)\) là \(x \in \left\{ {3;1} \right\}\).
