a) Ta có $AB = AC$ (do $\Delta ABC$ cân tại $A$) và $BD = CE$ (giả thiết)

Suy ra $AB - BD = AC - CE$ hay $AD = AE$.

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ACD$ có:

$AB = AC$ (chứng minh trên);

$\widehat {BAC}$ là góc chung;

$AD = AE$ (chứng minh trên).

Do đó $\Delta ABE = \Delta ACD\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)$.

b) Từ $\Delta ABE = \Delta ACD$ suy ra $\widehat {ABE} = \widehat {ACD}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$ (do $\Delta ABC$ cân tại $A$)

Suy ra $\widehat {IBC} = \widehat {ICB}$

Tam giác $IBC$ có $\widehat {IBC} = \widehat {ICB}$ nên là tam giác cân tại $I$.

Do đó $IB = IC$.

Xét $\Delta ABI$ và $\Delta ACI$ có:

$AB = AC$ (chứng minh trên);

$AI$ là cạnh chung;

$IB = IC$ (chứng minh trên).

Do đó $\Delta ABI = \Delta ACI\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.c}}{\rm{.c}}} \right)$

Suy ra $\widehat {BAI} = \widehat {CAI}$ (hai góc tương ứng).

Nên $AI$ là tia phân giác của $\widehat {BAC}$.

c) Xét $\Delta ADE$ có $AD = AE$ nên $\Delta ADE$ cân tại $A$, do đó $\widehat {ADE} = \widehat {AED}$.

Mà $\widehat {DAE} + \widehat {ADE} + \widehat {AED} = 180^\circ$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat {ADE} = \widehat {AED} = \frac{{180^\circ  - \widehat {DAE}}}{2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$.

Tương tự với $\Delta ABC$ cân tại $A$ ta có $\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ  - \widehat {BAC}}}{2}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $\widehat {ADE} = \widehat {ABC}$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên $DE\,{\rm{//}}\,BC$.

Suy ra $\widehat {DEB} = \widehat {EBC}$ (hai góc so le trong)          $\left( 3 \right)$

$\Delta BDE$ có $BD = DE$ nên là tam giác cân tại $D$, suy ra $\widehat {DBE} = \widehat {DEB}\,\,\,\,\,\left( 4 \right)$    

Từ $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right)$ suy ra $\widehat {DBE} = \widehat {EBC}$

Khi đó $BE$ là đường phân giác của $\widehat {ABC}$.

Tương tự, với $DE = EC$ ta cũng chứng minh được $CD$ là đường phân giác của $\widehat {ACB}$

Xét $\Delta ABC$ có $BE,CD$ là hai đường phân giác của tam giác cắt nhau tại $I$.

Suy ra $I$ cách đều ba cạnh của $\Delta ABC$.

Vậy để $BD = DE = EC$ thì $BE$ và $CD$ là hai đường phân giác của $\Delta ABC$, khi đó $I$ cách đều ba cạnh của $\Delta ABC$.