Câu hỏi:
226 lượt xemCho tam giác cân tại . Đường trung trực của cạnh cắt tia tại điểm . Trên tia đối của tia lấy điểm E sao cho .
a) Chứng minh tam giác cân;
b) Chứng minh ;
c) Lấy là trung điểm của . Chứng minh là đường trung trực của .
Lời giải
Hướng dẫn giải:
a) Theo đề bài, đường trung trực của cạnh \(AC\) cắt tia \(CB\) tại điểm \(D\).
Suy ra \(D\) thuộc đường trung trực của \(AC\) nên \(DA = DC\).
Do đó tam giác \(ADC\) có \(DA = DC\) nên tam giác \(ADC\) cân tại \(D\).
b) Vì tam giác \(ADC\) cân nên \(\widehat {DAC} = \widehat {DCA}\) (1)
Vì \(AB = AC\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {DCA}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {DAC} = \widehat {ABC}\).
Ta có \(\widehat {EAC} + \widehat {DAC} = 180^\circ \); \(\widehat {DBA} + \widehat {ABC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
Mà \(\widehat {DAC} = \widehat {DCA}\) nên \(\widehat {EAC} = \widehat {ABD}\) (đpcm).
c) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta CAE\) có:
\(AE = BD\) (giả thiết);
\(\widehat {EAC} = \widehat {ABD}\) (chứng minh trên);
\(AB = AC\) (vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\)).
Do đó \(\Delta ABD = \Delta CAE\) (c.g.c).
Suy ra \(AD = CE\) (hai cạnh tương ứng).
Mà \(DA = DC\) (chứng minh trên) nên \(CE = CD\).
Mà \(FD = FE\) (\(F\) là trung điểm \(DE\))
Do đó \(CF\) là đường trung trực của \(DE\).
