Câu hỏi:

311 lượt xem
Tự luận

Cho tam giác ABCABC cân tại AA (A^<90)\left( {\widehat A < 90^\circ } \right). Đường trung trực của cạnh ACAC cắt tia CBCB tại điểm DD. Trên tia đối của tia ADAD lấy điểm E sao cho AE=BDAE = BD.

a) Chứng minh tam giác ADCADC cân;

b) Chứng minh EAC^=ABD^\widehat {EAC} = \widehat {ABD};

c) Lấy FF là trung điểm của DEDE. Chứng minh CFCF là đường trung trực của DEDE.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải:

a) Theo đề bài, đường trung trực của cạnh ACAC cắt tia CBCB tại điểm DD.

Suy ra DD thuộc đường trung trực của ACAC nên DA=DCDA = DC.

Do đó tam giác ADCADCDA=DCDA = DC nên tam giác ADCADC cân tại DD.

b) Vì tam giác ADCADC cân nên DAC^=DCA^\widehat {DAC} = \widehat {DCA} (1)

AB=ACAB = AC nên ABC^=DCA^\widehat {ABC} = \widehat {DCA} (2)

Từ (1) và (2) suy ra DAC^=ABC^\widehat {DAC} = \widehat {ABC}.

Ta có EAC^+DAC^=180\widehat {EAC} + \widehat {DAC} = 180^\circ ; DBA^+ABC^=180\widehat {DBA} + \widehat {ABC} = 180^\circ (hai góc kề bù)

DAC^=DCA^\widehat {DAC} = \widehat {DCA} nên EAC^=ABD^\widehat {EAC} = \widehat {ABD} (đpcm).

c) Xét ΔABD\Delta ABDΔCAE\Delta CAE có:

AE=BDAE = BD (giả thiết);

EAC^=ABD^\widehat {EAC} = \widehat {ABD} (chứng minh trên);

AB=ACAB = AC (vì tam giác ABCABC cân tại AA).

Do đó ΔABD=ΔCAE\Delta ABD = \Delta CAE (c.g.c).

Suy ra AD=CEAD = CE (hai cạnh tương ứng).

DA=DCDA = DC (chứng minh trên) nên CE=CDCE = CD.

FD=FEFD = FE (FF là trung điểm DEDE)

Do đó CFCF là đường trung trực của DEDE.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ