Câu hỏi:

596 lượt xem
Tự luận

Cho x,yx,y thỏa mãn x2+2xy+6x+6y+2y2+8=0.{x^2} + 2xy + 6x + 6y + 2{y^2} + 8 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P=x+y+2024.P = x + y + 2024.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Ta có: x2+2xy+6x+6y+2y2+8=0{x^2} + 2xy + 6x + 6y + 2{y^2} + 8 = 0

(x2+2xy+y2)+6(x+y)+y2+8=0\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + 6\left( {x + y} \right) + {y^2} + 8 = 0

(x+y)2+2(x+y)3+91= y2{\left( {x + y} \right)^2} + 2 \cdot \left( {x + y} \right) \cdot 3 + 9 - 1 =  - {y^2}

(x+y+3)21= y2{\left( {x + y + 3} \right)^2} - 1 =  - {y^2}

(x+y+31)(x+y+3+1)= y2\left( {x + y + 3 - 1} \right)\left( {x + y + 3 + 1} \right) =  - {y^2}

(x+y+2)(x+y+4)= y2\left( {x + y + 2} \right)\left( {x + y + 4} \right) =  - {y^2}

(x+y+20242022)(x+y+20242020)= y2\left( {x + y + 2024 - 2022} \right)\left( {x + y + 2024 - 2020} \right) =  - {y^2}

(P2022)(P2020)= y2\left( {P - 2022} \right)\left( {P - 2020} \right) =  - {y^2}

Mà y20{y^2} \ge 0 với mọi yy nên y20 - {y^2} \le 0 với mọi yy

Do đó (P2022)(P2020)0\left( {P - 2022} \right)\left( {P - 2020} \right) \le 0 ()\left( * \right)

Lại có (P2020)2<P2020\left( {P - 2020} \right) - 2 < P - 2020 hay P2022<P2020P - 2022 < P - 2020

Suy ra ()\left( * \right) xảy ra khi P20220P2020P - 2022 \le 0 \le P - 2020

Nên 2020P20222020 \le P \le 2022

Vậy GTLN của PP bằng 2022 khi {x+y+2=0y2=0\left\{ \begin{array}{l}x + y + 2 = 0\\ - {y^2} = 0\end{array} \right., tức {x= 2y=0\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 0\end{array} \right.;

GTNN của PP bằng 2020 khi {x+y+4=0y2=0\left\{ \begin{array}{l}x + y + 4 = 0\\ - {y^2} = 0\end{array} \right., tức {x= 4y=0\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4\\y = 0\end{array} \right..

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 13:
Tự luận

Thu gọn biểu thức:

a) (9x2y3+6x3y24xy2):3xy2;\left( { - 9{x^2}{y^3} + 6{x^3}{y^2} - 4x{y^2}} \right):3x{y^2};          

b) 12xy(x5y3)x2y(14x4y3).\frac{1}{2}xy\left( {{x^5} - {y^3}} \right) - {x^2}y\left( {\frac{1}{4}{x^4} - {y^3}} \right).


1 năm trước 189 lượt xem