a)

$2x - \frac{3}{4} = \frac{{ - 1}}{2}$               

$\begin{array}{l}2x = \frac{{ - 1}}{2} + \frac{3}{4}\\2x = \frac{1}{4}\end{array}$

$x = \frac{1}{8}$

Vậy $x = \frac{1}{8}$.

b) 

$\begin{array}{l}\frac{5}{2} - \frac{1}{2}x = \sqrt 4 \\\frac{5}{2} - \frac{1}{2}x = 2\\\frac{1}{2}x = \frac{5}{2} - 2\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}x = \frac{1}{2}\\x = 1\end{array}$

Vậy $x = 1$.

c) 

$\left| {\frac{3}{2}x + \frac{1}{2}} \right| - \frac{1}{3} = 1$

$\left| {\frac{3}{2}x + \frac{1}{2}} \right| = \frac{4}{3}$

TH1: $\frac{3}{2}x + \frac{1}{2} = \frac{4}{3}$

$\frac{3}{2}x = \frac{5}{6}$

$x = \frac{5}{9}$

TH2: $\frac{3}{2}x + \frac{1}{2} = \frac{{ - 4}}{3}$

$\frac{3}{2}x = \frac{{ - 11}}{6}$

$x = \frac{{ - 11}}{9}$

Vậy $x \in \left\{ {\frac{5}{9};\frac{{ - 11}}{9}} \right\}$.

a) 

Xét $$\Delta AIC$$ và $$\Delta AIB$$ có:

 $$AB = AC$$ (gt)

 $$AI$$ (cạnh chung)

 $$BI = CI$$ (gt) 

Suy ra $$\Delta AIC{\rm{  = }}\Delta AIB$$ (c.c.c) 

b)

Xét $$\Delta EIC$$ và $$\Delta DIB$$ có:

 $$IE = ID$$ (gt)

 $\widehat {EIC} = \widehat {DIB}$ ( đồng vị)

 $$BI = CI$$ (gt) 

Do đó $$\Delta EIC{\rm{  = }}\Delta DIB$$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat {ECI} = \widehat {DBI}$ ( hai góc tương ứng) (1)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

Nên $$AB\parallel CE$$.

c)

Ta có $$\Delta AIC{\rm{  = }}\Delta AIB$$ (theo câu a)

Suy ra $\widehat {ACI} = \widehat {DBI}$ ( hai góc tương ứng) (2)

Và $$AC = AB$$ ( hai cạnh tương ứng) (3)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {ACI} = \widehat {ECI}$

Từ đó chứng minh được $$\Delta HCK{\rm{  = }}\Delta ECK$$ (g.c.g)

Suy ra $$CE = CH$$ ( hai cạnh tương ứng) (4)

Mà $$BD = CE$$ (hai cạnh tương ứng của $$\Delta EIC{\rm{  = }}\Delta DIB$$) suy ra $$BD = CH$$ (5)

Từ (3) và (5) chỉ ra được $$AH = AD$$

Suy ra tam giác $$AHD$$ cân tại $$A$$ $\Rightarrow \widehat {AHD} = \frac{{180 - \widehat {BAC}}}{2}$ (*)

Ta có $$AB = AC$$ nên tam giác $$ABC$$ cân tại $$A$$

 $\Rightarrow \widehat {ACB} = \frac{{180 - \widehat {BAC}}}{2}$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $\widehat {AHD} = \widehat {ACB}$

Mà mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên $$HD\parallel BC$$

Dễ chỉ ra được $$AI$$ vuông góc với $$BC$$.

Do đó $$HD$$ vuông góc với $$AI$$.

Với mọi số nguyên x thì A luôn xác định.

Ta có: $$A = \frac{{x + 1}}{{2x - 3}} = \frac{1}{2}.\frac{{2x + 2}}{{2x - 3}} = \frac{1}{2}.\frac{{(2x - 3) + 5}}{{2x - 3}} = \frac{1}{2}.\left( {1 + \frac{5}{{2x - 3}}} \right)$$

$$A$$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $$\frac{5}{{2x - 3}}$$ đạt giá trị nhỏ nhất hay $$2x - 3$$ đạt giá trị lớn nhất.

Từ đó lí luận chỉ ra được $$2x - 3 =  - 1$$.

Do đó $$x = 1$$ (thỏa mãn). Khi đó $$A =  - 2$$.

Suy ra min $$A =  - 2$$ đạt được tại $$x = 1$$.

Vậy $$x = 1$$ thì $$A$$ đạt giá trị nhỏ nhất.