a)
Xét Δ A I C \Delta AIC Δ A I C và Δ A I B \Delta AIB Δ A I B có:
A B = A C AB = AC A B = A C (gt)
A I AI A I (cạnh chung)
B I = C I BI = CI B I = C I (gt)
Suy ra Δ A I C = Δ A I B \Delta AIC{\rm{ = }}\Delta AIB Δ A I C = Δ A I B (c.c.c)
b)
Xét Δ E I C \Delta EIC Δ E I C và Δ D I B \Delta DIB Δ D I B có:
I E = I D IE = ID I E = I D (gt)
E I C ^ = D I B ^ \widehat {EIC} = \widehat {DIB} E I C = D I B ( đồng vị)
B I = C I BI = CI B I = C I (gt)
Do đó Δ E I C = Δ D I B \Delta EIC{\rm{ = }}\Delta DIB Δ E I C = Δ D I B (c.g.c)
Suy ra E C I ^ = D B I ^ \widehat {ECI} = \widehat {DBI} EC I = D B I ( hai góc tương ứng) (1)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong
Nên A B ∥ C E AB\parallel CE A B ∥ CE .
c)
Ta có Δ A I C = Δ A I B \Delta AIC{\rm{ = }}\Delta AIB Δ A I C = Δ A I B ( theo câu a )
Suy ra A C I ^ = D B I ^ \widehat {ACI} = \widehat {DBI} A C I = D B I ( hai góc tương ứng) (2)
Và A C = A B AC = AB A C = A B ( hai cạnh tương ứng) (3)
Từ (1) và (2) suy ra A C I ^ = E C I ^ \widehat {ACI} = \widehat {ECI} A C I = EC I
Từ đó chứng minh được Δ H C K = Δ E C K \Delta HCK{\rm{ = }}\Delta ECK Δ H C K = Δ EC K (g.c.g)
Suy ra C E = C H CE = CH CE = C H ( hai cạnh tương ứng) (4)
Mà B D = C E BD = CE B D = CE (hai cạnh tương ứng của Δ E I C = Δ D I B \Delta EIC{\rm{ = }}\Delta DIB Δ E I C = Δ D I B ) suy ra B D = C H BD = CH B D = C H (5)
Từ (3) và (5) chỉ ra được A H = A D AH = AD A H = A D
Suy ra tam giác A H D AHD A HD cân tại A A A ⇒ A H D ^ = 180 − B A C ^ 2 \Rightarrow \widehat {AHD} = \frac{{180 - \widehat {BAC}}}{2} ⇒ A HD = 2 180 − B A C (*)
Ta có A B = A C AB = AC A B = A C nên tam giác A B C ABC A BC cân tại A A A
⇒ A C B ^ = 180 − B A C ^ 2 \Rightarrow \widehat {ACB} = \frac{{180 - \widehat {BAC}}}{2} ⇒ A CB = 2 180 − B A C (**)
Từ (*) và (**) suy ra A H D ^ = A C B ^ \widehat {AHD} = \widehat {ACB} A HD = A CB
Mà mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên H D ∥ B C HD\parallel BC HD ∥ BC
Dễ chỉ ra được A I AI A I vuông góc với B C BC BC .
Do đó H D HD HD vuông góc với A I AI A I .