Gọi $x,\,\,y,\,\,z,\,\,t$ (học sinh) lần lượt là số học sinh bốn khối 6; 7; 8; 9 $\left( {0 < x,\,\,y,\,\,z,\,\,t < 660} \right)$.

Vì tổng số học sinh là 660 nên $x + y + z + t = 660$.

Vì số học sinh tỉ lệ thuận với $$3;\,\,3,5;\,\,4,5;\,\,4$$ nên $\frac{x}{3} = \frac{y}{{3,5}} = \frac{z}{{4,5}} = \frac{t}{4}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{3} = \frac{y}{{3,5}} = \frac{z}{{4,5}} = \frac{t}{4} = \frac{{x + y + z + t}}{{3 + 3,5 + 4,5 + 4}} = \frac{{660}}{{15}} = 44$

Suy ra $\frac{x}{3} = 44$ nên $x = 44\,\,.\,\,3 = 132$ (thỏa mãn);

$\frac{y}{{3,5}} = 44$ nên $y = 44\,\,.\,\,3,5 = 154$ (thỏa mãn);

$\frac{z}{{4,5}} = 44$ nên $z = 44\,\,.\,\,4,5 = 198$ (thỏa mãn);

$\frac{t}{3} = 44$ nên $t = 44\,\,.\,\,4 = 176$ (thỏa mãn).

Vậy số học sinh bốn khối 6; 7; 8; 9 lần lượt là 132 học sinh; 154 học sinh; 198 học sinh; 176 học sinh.

a) $$P(x) = \left( {2{x^2} - {x^3} + x - 5} \right) + \left( {{x^3} - 2{x^2} + 3x - 1} \right)$$

$$= 2{x^2} - {x^3} + x - 5 + {x^3} - 2{x^2} + 3x - 1$$

$$= \left( { - {x^3} + {x^3}} \right) + \left( {2{x^2} - 2{x^2}} \right) + \left( {x + 3x} \right) + \left( { - 5 - 1} \right)$$$= 4x - 6$.

Vậy $P\left( x \right) = 4x - 6$.

b) Đa thức $P\left( x \right) = 4x - 6$ có nghiệm khi $4x - 6 = 0$

$4x = 6$

$x = \frac{3}{2}$

Vậy nghiệm của đa thức $P\left( x \right)$ là $x = \frac{3}{2}$.

Vì $BD$; $CE$ là đường trung tuyến nên $D$ là trung điểm của $AC$ và $E$ là trung điểm của $AB$.

Do đó, $AE = EB = \frac{1}{2}AB;\,\,AD = DC = \frac{1}{2}AC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AE = EB = AD = DC$.

Xét $\Delta BEC$ và $\Delta CDB$ có:

$BE = DC$ (chứng minh trên)

Cạnh $BC$ chung

$\widehat {EBC} = \widehat {DCB}$ (do $\Delta ABC$ cân tại $A$)

Do đó, $\Delta BEC = \Delta CDB$ (g.c.g)

Suy ra $BD = CE$ (hai cạnh tương ứng) và $\widehat {ECB} = \widehat {DBC}$ (hai góc tương ứng)

Xét tam giác $BGC$ có: $\widehat {ECB} = \widehat {DBC}$ hay $\widehat {GCB} = \widehat {GBC}$.

Do đó $\Delta BGC$ cân tại $G$.

Suy ra $GB = GC$ (tính chất tam giác cân)

Ta có: $BD = BG + GD;\,\,CE = CG + GE$.

Mà $BD = EC;\,\,BG = GC$ nên $GE = GD$.

Xét tam giác $EGD$ có: $GE = GD$ nên $\Delta EGD$ cân tại $G$.

b) Xét tam giác $BGC$ có:

$BG + GC > BC$ (bất đẳng thức tam giác) (*)

Vì hai đường trung tuyến $BD;CE$ cắt nhau tại $G$ nên $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.

Ta có: $$BG = \frac{2}{3}BD;\,\,CG = \frac{2}{3}CE$$ (**)

Thay (**) vào (*) ta được: $BG + CG = \frac{2}{3}BD + \frac{2}{3}CE > BC$ hay $\frac{2}{3}\left( {BD + CE} \right) > BC$.

Suy ra $BD + CE > \frac{3}{2}BC$ (đpcm).

Ta có: $\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{abz - acy}}{{{a^2}}}$;

$\frac{{cx - az}}{b} = \frac{{bcx - baz}}{{{b^2}}}$; $\frac{{ay - bx}}{c} = \frac{{cay - cbx}}{{{c^2}}}$.

Mà $\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{cx - az}}{b} = \frac{{ay - bx}}{c}$

Nên $\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{ay - bx}}{c} = \frac{{abz - acy}}{{{a^2}}} = \frac{{bcx - baz}}{{{b^2}}} = \frac{{cay - cbx}}{{{c^2}}}$

$= \frac{{abz - acy + bcx - baz + cay - cbx}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = 0$.

Do đó $$bz - cy = 0;\,\,ay - bx = 0$$.

Khi đó, $bz = cy$ nên $\frac{b}{y} = \frac{c}{z}$ và $ay = bx$ nên $\frac{b}{y} = \frac{a}{x}$.

Do đó $\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}$ (đpcm).