a) $\frac{x}{{ - 4}} = \frac{{ - 12}}{{18}}$

$18x = \left( { - 12} \right)\,\,.\,\,\left( { - 4} \right)$

$18x = 48$

$x = 48:18$

$x = 3$

Vậy $x = 3$.

b) $\frac{{2x - 2}}{5} = \frac{{x - 3}}{{10}}$

$10\,\,.\,\,\left( {2x - 2} \right) = 5\,\,.\,\,\left( {x - 3} \right)$

$20x - 20 = 5x - 15$

$20x - 5x = 20 - 15$

$15x = 5$

$x = \frac{1}{3}$

c) $\frac{{x - 2}}{{12}} = \frac{3}{{x - 2}}$

$\left( {x - 2} \right)\,\,.\,\,\left( {x - 2} \right) = 12\,\,.\,\,3$

${\left( {x - 2} \right)^2} = 36$

${\left( {x - 2} \right)^2} = {6^2} = {\left( { - 6} \right)^2}$

Trường hợp 1: $x - 2 = 6$

$x = 6 + 2$

$x = 8$

Trường hợp 2: $x - 2 =  - 6$

$x =  - 6 + 2$

$x =  - 4$

Vậy $x = 8$ và $x =  - 4$.

a) $$P(x) = \left( {2{x^2} - {x^3} + x - 5} \right) + \left( {{x^3} - 2{x^2} + 3x - 1} \right)$$

$$= 2{x^2} - {x^3} + x - 5 + {x^3} - 2{x^2} + 3x - 1$$

$$= \left( { - {x^3} + {x^3}} \right) + \left( {2{x^2} - 2{x^2}} \right) + \left( {x + 3x} \right) + \left( { - 5 - 1} \right)$$$= 4x - 6$.

Vậy $P\left( x \right) = 4x - 6$.

b) Đa thức $P\left( x \right) = 4x - 6$ có nghiệm khi $4x - 6 = 0$

$4x = 6$

$x = \frac{3}{2}$

Vậy nghiệm của đa thức $P\left( x \right)$ là $x = \frac{3}{2}$.

Vì $BD$; $CE$ là đường trung tuyến nên $D$ là trung điểm của $AC$ và $E$ là trung điểm của $AB$.

Do đó, $AE = EB = \frac{1}{2}AB;\,\,AD = DC = \frac{1}{2}AC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AE = EB = AD = DC$.

Xét $\Delta BEC$ và $\Delta CDB$ có:

$BE = DC$ (chứng minh trên)

Cạnh $BC$ chung

$\widehat {EBC} = \widehat {DCB}$ (do $\Delta ABC$ cân tại $A$)

Do đó, $\Delta BEC = \Delta CDB$ (g.c.g)

Suy ra $BD = CE$ (hai cạnh tương ứng) và $\widehat {ECB} = \widehat {DBC}$ (hai góc tương ứng)

Xét tam giác $BGC$ có: $\widehat {ECB} = \widehat {DBC}$ hay $\widehat {GCB} = \widehat {GBC}$.

Do đó $\Delta BGC$ cân tại $G$.

Suy ra $GB = GC$ (tính chất tam giác cân)

Ta có: $BD = BG + GD;\,\,CE = CG + GE$.

Mà $BD = EC;\,\,BG = GC$ nên $GE = GD$.

Xét tam giác $EGD$ có: $GE = GD$ nên $\Delta EGD$ cân tại $G$.

b) Xét tam giác $BGC$ có:

$BG + GC > BC$ (bất đẳng thức tam giác) (*)

Vì hai đường trung tuyến $BD;CE$ cắt nhau tại $G$ nên $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.

Ta có: $$BG = \frac{2}{3}BD;\,\,CG = \frac{2}{3}CE$$ (**)

Thay (**) vào (*) ta được: $BG + CG = \frac{2}{3}BD + \frac{2}{3}CE > BC$ hay $\frac{2}{3}\left( {BD + CE} \right) > BC$.

Suy ra $BD + CE > \frac{3}{2}BC$ (đpcm).

Ta có: $\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{abz - acy}}{{{a^2}}}$;

$\frac{{cx - az}}{b} = \frac{{bcx - baz}}{{{b^2}}}$; $\frac{{ay - bx}}{c} = \frac{{cay - cbx}}{{{c^2}}}$.

Mà $\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{cx - az}}{b} = \frac{{ay - bx}}{c}$

Nên $\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{ay - bx}}{c} = \frac{{abz - acy}}{{{a^2}}} = \frac{{bcx - baz}}{{{b^2}}} = \frac{{cay - cbx}}{{{c^2}}}$

$= \frac{{abz - acy + bcx - baz + cay - cbx}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = 0$.

Do đó $$bz - cy = 0;\,\,ay - bx = 0$$.

Khi đó, $bz = cy$ nên $\frac{b}{y} = \frac{c}{z}$ và $ay = bx$ nên $\frac{b}{y} = \frac{a}{x}$.

Do đó $\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}$ (đpcm).