Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất hai ẩn (Chân trời sáng tạo 2024) Toán 10

Lý thuyết Toán lớp 10 Bài 1: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

A. Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Khái niệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng

ax + by + c < 0; ax + by + c > 0; ax + by + c ≤ 0; ax + by + c ≥ 0,

trong đó a, b, c là những số cho trước, a, b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn.

Ví dụ:

5x + 2y < 4 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì bất phương trình chứa hai ẩn x, y ở bậc nhất.

5x + 2y – 3z > 3 không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì bất phương trình này chứa 3 ẩn x, y, z ở bậc nhất.

2. Nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Xét bất phương trình ax + by + c < 0.

Mỗi cặp số (x0; y0) thỏa mãn ax0 + by0 + c < 0 được gọi là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

Chú ý: Nghiệm của các bất phương trình ax + by + c > 0; ax + by + c ≤ 0; ax + by + c ≥ 0 được định nghĩa tương tự.

Ví dụ:

+ Bất phương trình bậc nhất hai ẩn 5x + 2y < 4 có các cặp nghiệm là (-1; -2); (0; 0); bởi:

Với x = ‒1, y = ‒2 ta có: 5.(‒1) + 2.(‒2) = ‒9 < 4 nên (‒1; ‒2) là nghiệm của bất phương trình 5x + 2y < 4.

Với x = 0, y = 0 ta có: 5. 0 + 2. 0 = 0 < 4 nên (0; 0) là nghiệm của bất phương trình 5x + 2y < 4.

+ Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x ‒ 2y ≥ 4 có các cặp nghiệm là (4; ‒1); (4; 0); bởi:

Với x = 4, y = ‒1 ta có: 4 – 2. (‒1) = 6 ≥ 4 nên (4; ‒1) là nghiệm của bất phương trình x ‒ 2y ≥ 4.

Với x = 4, y = 0 ta có: 4 ‒ 2. 0 = 4 ≥ 4 nên (4; 0) là nghiệm của bất phương trình x ‒ 2y ≥ 4.

3. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm (x0; y0) sao cho ax0 + by0 + c < 0 được gọi là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0.

- Người ta chứng minh được: Mỗi phương trình ax + by + c = 0 (a, b không đồng thời bằng 0) xác định một đường thẳng ∆. Đường thẳng ∆ chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành hai nửa mặt phẳng, trong đó một nửa (không kể bờ ∆) là tập hợp các điểm (x; y) thỏa mãn ax + by + c > 0, nửa còn lại (không kể bờ ∆) là tập hợp các điểm (x; y) thỏa mãn ax + by + c < 0.

Ta có thể biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by + c < 0 như sau:

Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng ∆: ax + by +c = 0.

Bước 2: Lấy một điểm (x0; y0) không thuộc ∆. Tính ax0 +by0 + c.

+ Nếu ax0 + by0 + c < 0 thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ ∆) chứa điểm (x0; y0).

+ Nếu ax0 + by0 + c > 0 thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ ∆) không chứa điểm (x0; y0).

Chú ý: Đối với các bất phương trình bậc nhất hai ẩn dạng ax + by + c ≤ 0 (hoặc ax + by + c ≥ 0) thì miền nghiệm là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0 (hoặc ax + by + c > 0) kể cả bờ.

Ví dụ: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình x + 2y – 2 > 0 trên mặt phẳng tọa độ:

Bước 1: Vẽ đường thẳng ∆: x + 2y – 2 = 0 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Bước 2: Lấy điểm O (0; 0) không thuộc ∆ và thay x = 0 và y = 0 vào biểu thức x + 2y – 2 ta được 0 + 2.0 – 2 = ‒2 > 0 là mệnh đề sai.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ ∆ (không kể bờ ∆) không chứa điểm O (miền nghiệm là miền không bị gạch trên hình)

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn: 3x + y < 20. Cặp số (x; y) nào trong các cặp số (2; 5), (4; 8), (5; 6), (4; 7), (11; 12) là nghiệm của bất phương trình trên?

Hướng dẫn giải

Thay (x; y) = (2; 5) vào bất phương trình ta có: 3. 2 + 5 = 11 < 20 là mệnh đề đúng. Do đó cặp số (2;5) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Thay (x; y) = (4; 8) vào bất phương trình ta có: 3. 4 + 8 = 20 < 20 là mệnh đề sai. Do đó cặp số (4;8) không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Thay (x; y) = (5; 6) vào bất phương trình ta có: 3. 5 + 6 = 21 < 20 là mệnh đề sai. Do đó cặp số (5;6) không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Thay (x; y) = (4; 7) vào bất phương trình ta có: 3. 4 + 7 = 19 < 20 là mệnh đề đúng. Do đó cặp số (4;7) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Thay (x; y) = (11; 12) vào bất phương trình ta có: 3. 11 + 12 = 45 < 20 mệnh đề sai. Do đó cặp số (11;12) không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy ta có cặp nghiệm (x; y) là: (2; 5); (4; 7).

Bài 2. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) 3x + 5y ‒ 7 < 0

b) 2x2 – y ‒ 1 > 0

c) 4y2 – 3 ≤ 0

d) 4x – 5 < 3y

e) 2x – 5y + 6t  ≥ 0

Hướng dẫn giải

Ta có: 3x + 5y ‒ 7 < 0 có dạng ax + by + c < 0 với a = 3, b = 5 và c = ‒ 7. Do đó bất phương trình a) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ta có: 2x2 – y ‒ 1 > 0 có chứa x2 nên bất phương trình b) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ta có: 4y2 – 3 ≤ 0 có chứa ẩn y2 nên bất phương trình c) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ta có 4x – 5 < 3y ⇔ 4x – 3y ‒ 5 < 0 có dạng ax + by + c < 0 với a = 4, b = ‒ 3 và c = ‒ 5. Do đó bất phương trình d) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ta có 2x – 5y + 6t ≥ 0 là bất phương trình bậc nhất ba ẩn x, y, t. Do đó bất phương trình e) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Vậy 3x + 5y ‒ 7 < 0; 4x – 5 < 3y là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bài 3. Bất phương trình sau có phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn không? Nếu có biểu diễn miền nghiệm của nó trên trục tọa độ Oxy: 2x + y – 4 ≤ 0?

Hướng dẫn giải

Bất phương trình 2x + y – 4 ≤ 0 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có dạng ax + by + c ≤ 0 với a = 2, b = 1 và c = ‒ 4.

- Biểu diễn miền nghiệm trên trục tọa độ Oxy:

+ Vẽ đường thẳng ∆: 2x + y – 4 = 0 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

+ Lấy điểm O(0;0) không thuộc ∆ thay vào bất phương trình ta có: 2. 0 + 0 – 4 = ‒ 4 ≤ 0 là một mệnh đề đúng.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình đã cho trên trục tọa độ Oxy là nửa mặt phẳng bờ ∆ (kể cả bờ ∆) chứa gốc tọa độ O.

Miền nghiệm biểu diễn trên trục tọa độ Oxy:

Bài 4. Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn: x + 4y ≤ 20.

a) Chỉ ra hai nghiệm của bất phương trình trên.

b) Với x = 0 thì có bao nhiêu giá trị của y thỏa mãn bất phương trình.

c) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình trên trên hệ trục tọa độ Oxy.

Hướng dẫn giải

a) Chọn (x; y) = (0; 0)

Thay x = 0 và y = 0 vào bất phương trình đã cho ta được 0 + 4.0 = 0 ≤ 20 là mệnh đề đúng. Do đó cặp (0; 0) là nghiệm của bất phương trình.

Chọn (x; y) = (0; 1)

Thay x = 0 và y = 1 vào bất phương trình đã cho ta được 0 + 4.1 = 4 ≤ 20 là mệnh đề đúng. Do đó cặp (0; 1) là nghiệm của bất phương trình.

Vậy hai cặp số (0; 0) và (0; 1) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

b) Với x = 0 thì bất phương trình trở thành: 4y ≤ 20 ⇔ y ≤ 5 và có vô số giá trị của y thỏa mãn bất phương trình.

c) - Biểu diễn miền nghiệm trên trục tọa độ Oxy:

+ Vẽ đường thẳng ∆: x + 4y – 20 = 0 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

+ Lấy điểm O(0;0) không thuộc ∆ thay vào bất phương trình ta có: 0 + 4. 0 – 20 = ‒ 20 ≤ 0 là một mệnh đề đúng.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình đã cho trên trục tọa độ Oxy là nửa mặt phẳng bờ ∆ (kể cả bờ ∆) chứa gốc tọa độ O.

Miền nghiệm biểu diễn trên trục tọa độ Oxy: