Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc hai (Chân trời sáng tạo 2024) Toán 10

Lý thuyết Toán lớp 10 Bài 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai

A. Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc hai

1. Phương trình dạng $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\sqrt{d{x}^2+\text{ex}+f}$

Để giải phương trình $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\sqrt{d{x}^2+\text{ex}+f}$  ta làm như sau:

Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình để được phương trình:

ax2 + bx + c = dx2 + ex + f

Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1.

Bước 3: Thử lại xem các giá trị x tìm được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình sau: $\sqrt{x^2+3x-2}=\sqrt{x+1}$

Hướng dẫn giải

 $\sqrt{x^2+3x-2}=\sqrt{x+1}$    (1)

Bình phương hai vế của phương trình (1) ta có:

x2 + 3x – 2 = x + 1

$\Rightarrow$ x2 + 2x – 3 = 0

x = 1 hoặc x = –3.

• Với x = 1 thay vào phương trình (1) ta được:

$\sqrt{1^2+3.1-2}=\sqrt{1+1}$$\iff \sqrt{2}=\sqrt{2}$ (đúng)

Do đó x = 1 là nghiệm của phương trình (1).

• Với x = –3 ta thấy x + 1 = –3 +1 = –2 < 0 nên không tồn tại $\sqrt{x+1}.$

Do đó x = –3 không là nghiệm của phương trình (1).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1.

2. Phương trình dạng $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=dx+e$

Để giải phương trình $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=dx+e$ ta làm như sau:

Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình để được phương trình:

ax2 + bx + c = dx +e

Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1.

Bước 3: Thử lại xem các giá trị x tìm được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình sau: $\sqrt{4+2x-x^2}=x-2$  

Hướng dẫn giải

 $\sqrt{4+2x-x^2}=x-2$      (2)

Bình phương hai vế phương trình (2) ta có:

4 + 2x – x2 = (x – 2)2

$\Rightarrow$ 4 + 2x – x2 = x2 – 4x + 4

$\Rightarrow$ 2x2 – 6x = 0

$\Rightarrow$ 2x(x – 3) = 0

$\Rightarrow$ x = 0 hoặc x = 3

• Với x = 0 thay vào phương trình (2) ta được:

 $\sqrt{4+2.0-0^2}=0-2$$\iff$2 = –2 (vô lí)

Do đó x = 0 không là nghiệm của phương trình (2).

• Với x = 3 thay vào phương trình (2) ta được:

$\sqrt{4+2.3-3^2}=3-2$$\iff$1 = 1 (đúng)

Do đó x = 3 là nghiệm của phương trình (1).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tam giác ABC vuông tại A, có cạnh AC ngắn hơn cạnh BC là 9 cm. Tính độ dài ba cạnh của tam giác ABC biết chu vi của tam giác bằng 70 cm.

Hướng dẫn giải

Gọi AC = x (cm) (x > 0).

Cạnh AC ngắn hơn cạnh BC là 9 cm nên BC = x + 9 (cm).

Tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore ta có:

BC2 = AB2 + AC2

$\Rightarrow$ AB2 = BC2 – AC2

$\Rightarrow$ AB2 = (x + 9)2 – x2

$\Rightarrow$ AB2 = x2 + 18x + 81 – x2 = 18x + 81

$\Rightarrow AB=\sqrt{18x+81}$ (cm)

Ta có chu vi của tam giác ABC là:

AB + BC + CA

= $\sqrt{18x+81}$ + x + 9 + x

= $\sqrt{18x+81}$ + 2x + 9 (cm)

Mà theo bài chu vi tam giác ABC bằng 70 cm.

Do đó ta có:  $\sqrt{18x+81}$+ 2x + 9 = 70

$\iff \sqrt{18x+81}$ = 61 – 2x (*)

Bình phương hai vế của phương trình trên ta có:

18x + 81 = (61 – 2x)2

$\Rightarrow$ 18x + 81 = 3721 – 244x + 4x2

$\Rightarrow$ 4x2 – 262x + 3640 = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x=20\\ x=45,5\end{array}\right.$

• Với x = 20 thay vào phương trình (*) ta có:

$\sqrt{18.20+81}$ = 61 – 2.20

$\iff$ 21 = 21 (đúng)

Do đó x = 20 là nghiệm của phương trình (*).

• Với x = 45,5 thay vào phương trình (*) ta có:

$\sqrt{18.45,5+81}$ = 61 – 2.45,5

$\iff$ 30 = –30 (vô lí)

Do đó x = 45,5 không là nghiệm của phương trình (*).

Khi đó AC = 20 (cm), BC = 29 (cm) và AB =$\sqrt{18.20+81}=21$ (cm).

Vậy AC = 20 cm, AB = 21 cm và BC = 29 cm.

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a)  $\sqrt{x^2-5x+4}=\sqrt{-2x^2-3x+12};$

b)  $\sqrt{x^2-4x+4}-\sqrt{\left(6-x\right)\left(2x-1\right)}=0;$

c)  $\sqrt{x^2-2x+4}=\sqrt{2-x}.$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{x^2-5x+4}=\sqrt{-2x^2-3x+12};$       (1)

Bình phương hai vế phương trình (1) ta có:

x2 – 5x + 4 = –2x2 – 3x + 12

$\Rightarrow$ 3x2 – 2x – 8 = 0

$\Rightarrow$ x = 2 hoặc x = $\frac{-4}{3}$  

• Với x = 2 ta có x2 – 5x + 4 = 22 – 5.2 + 4 = –10.

Khi đó không tồn tại $\sqrt{x^2-5x+4}.$

Do đó x = 2 không là nghiệm của phương trình (1).

• Với x = $\frac{-4}{3}$ thay vào phương trình (1) ta được:

$\sqrt{{\left(\frac{-4}{3}\right)}^2-5.\left(\frac{-4}{3}\right)+4}=\sqrt{-2{\left(\frac{-4}{3}\right)}^2-3.\left(\frac{-4}{3}\right)+12}$ 

$\iff \frac{4\sqrt{7}}{3}=\frac{4\sqrt{7}}{3}$ (đúng)

Do đó x = $\frac{-4}{3}$ là nghiệm của phương trình (1).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = $\frac{-4}{3}$.

b) $\sqrt{x^2-4x+4}-\sqrt{\left(6-x\right)\left(2x-1\right)}=0;$

$\iff \sqrt{x^2-4x+4}=\sqrt{\left(6-x\right)\left(2x-1\right)}$   (2)

Bình phương hai vế phương trình (2) ta có:

x2 – 4x + 4 = (6 – x)(2x – 1)

$\Rightarrow$ x2 – 4x + 4 = 12x – 6 – 2x2 + x

$\Rightarrow$ 3x2 – 17x + 10 = 0

$\Rightarrow$ $\left[\begin{array}{l}x=5\\ x=\frac{2}{3}\end{array}\right.$  

• Với x = 5 thay vào phương trình (2) ta có:

$\sqrt{5^2-4.5+4}=\sqrt{\left(6-5\right)\left(2.5-1\right)}$

 

$\iff$ 3 = 3 (đúng)

Do đó x = 5 là nghiệm của phương trình đã cho.

• Với x =  thay vào phương trình (2) ta có:4/3-

 

$\sqrt{{\left(\frac{2}{3}\right)}^2-4.\frac{2}{3}+4}=\sqrt{\left(6-\frac{2}{3}\right)\left(2.\frac{2}{3}-1\right)}$

$\iff$$\frac{4}{3}$ = $\frac{4}{3}$ (đúng)

Do đó x = $\frac{2}{3}$  là nghiệm của phương trình đã cho.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S =  $\left\{5;\frac{2}{3}\right\}.$

c) $\sqrt{x^2-2x+4}=\sqrt{2-x}$ (3)

Bình phương hai vế phương trình (3) ta có:

x2 – 2x + 4 = 2 – x

$\Rightarrow$ x2 – x + 2 = 0

$\Rightarrow$ ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}=0$  

(vô lí vì ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}=0$ với mọi x).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{x^2-3x+2}=x-1;$

b)  $\sqrt{4x^2+2x+10}=3x+1;$ 

c)  $\sqrt{\left(x-1\right)\left(2x-1\right)}-2x-1=0;$

d)  $x-\sqrt{3x^2-9x+1}=2.$

Hướng dẫn giải

a)  $\sqrt{x^2-3x+2}=x-1;$   (1)

Bình phương hai vế phương trình (1) ta có:

x2 – 3x + 2 = (x – 1)2

$\Rightarrow$ x2 – 3x + 2 = x2 – 2x + 1

$\Rightarrow$ –x = –1

$\Rightarrow$ x = 1

Thay x = 1 vào phương trình (1) ta có:

$\sqrt{1^2-3.1+2}=1-1$

 

$\iff$ 0 = 0 (đúng)

Do đó x = 1 là nghiệm của phương trình (1).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1.

b) $\sqrt{4x^2+2x+10}=3x+1;$         (2)

Bình phương hai vế phương trình (2) ta có:

4x2 + 2x + 10 = (3x + 1)2

$\Rightarrow$ 4x2 + 2x + 10 = 9x2 + 6x + 1

$\Rightarrow$ –5x2 – 4x + 9 = 0

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-\frac{9}{5}\end{array}\right.$ 

• Với x = 1 thay vào phương trình (2) ta có:

 

$\sqrt{{4.1}^2+2.1+10}=3.1+1$

$\iff$ 4 = 4 (đúng)              

Do đó x = 1 là nghiệm của phương trình (2).

• Với x = $-\frac{9}{5}$  thay vào phương trình (2) ta có:

$\sqrt{4.{\left(-\frac{9}{5}\right)}^2+2.\left(-\frac{9}{5}\right)+10}=3.\left(-\frac{9}{5}\right)+1$

 

$\iff$$\frac{22}{5}=-\frac{22}{5}$  (vô lí)       

Do đó x = $-\frac{9}{5}$ không là nghiệm của phương trình (2).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1.

c) $\sqrt{\left(x-1\right)\left(2x-1\right)}-2x-1=0;$  

$\iff \sqrt{\left(x-1\right)\left(2x-1\right)}=2x+1$      (3)

Bình phương hai vế phương trình (3) ta có:

(x – 1)(2x – 1) = (2x + 1)2

$\Rightarrow$ 2x2 – x – 2x + 1 = 4x2 + 4x + 1

$\Rightarrow$ –2x2 – 7x = 0

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{-7}{2}\end{array}\right.$

• Với x = 0 thay vào phương trình (3) ta có:

$\sqrt{\left(0-1\right)\left(2.0-1\right)}=2.0+1$

 

$\iff$ 1 = 1 (đúng)              

Do đó x = 0 là nghiệm của phương trình (3).

• Với x = $\frac{-7}{2}$ thay vào phương trình (3) ta có:

$\sqrt{\left(\frac{-7}{2}-1\right)\left(2.\frac{-7}{2}-1\right)}=2.\frac{-7}{2}+1$

 

$\iff$ 6 = –6 (vô lí)              

Do đó x = $\frac{-7}{2}$ không là nghiệm của phương trình (3).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0.

d)  $x-\sqrt{3x^2-9x+1}=2.$

$\iff x-2=\sqrt{3x^2-9x+1}$ 

$\iff \sqrt{3x^2-9x+1}=x-2$  (4)

Bình phương hai vế phương trình (4) ta có:

3x2 – 9x + 1 = (x – 2)2

$\Rightarrow$ 3x2 – 9x + 1 = x2 – 4x + 4

$\Rightarrow$ 2x2 – 5x – 3 = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x=3\\ x=\frac{-1}{2}\end{array}\right.$

 

• Với x = 3 thay vào phương trình (4) ta có:

$\sqrt{{3.3}^2-9.3+1}=3-2$

 

$\iff$ 1 = 1 (đúng)              

Do đó x = 3 là nghiệm của phương trình (4).

• Với x = $\frac{-1}{2}$ thay vào phương trình (4) ta có:

 

$\sqrt{3.{\left(\frac{-1}{2}\right)}^2-9.\left(\frac{-1}{2}\right)+1}=\frac{-1}{2}-2$

$\iff$$\frac{5}{2}=\frac{-5}{2}$  (vô lí)            

Do đó x = $\frac{-1}{2}$  không là nghiệm của phương trình (4).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 3.

Bài 4. Một đài quan sát O cách ba vị trí A, B, C như hình vẽ dưới đây.

Tính khoảng cách từ đài quan sát O tới B biết khoảng cách từ vị trí A đến vị trí C gấp đôi khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B và khoảng cách từ O đến B ngắn hơn khoảng cách từ O đến A.

Hướng dẫn giải

Vì OB là khoảng cách nên x > 0.

Vì khoảng cách từ O đến B ngắn hơn khoảng cách từ O đến A nên x < 2.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác OAC ta có:

AC2 = OA2 + OC2 – 2.OA.OC.cos$\widehat{AOC}$

$\Rightarrow$ AC2 = 22 + (x + 1)2 – 2.2.(x + 1).cos120°

$\Rightarrow$ AC2 = 4 + x2 + 2x + 1 + 2.(x +1) = x2 + 4x + 7.

$\Rightarrow$ AC = $\sqrt{x^2+4x+7}$ (km).

Áp dụng định lí côsin cho tam giác OAB ta có:

AB2 = OA2 + OB2 – 2.OA.OB.cos$\widehat{AOB}$

$\Rightarrow$ AB2 = 22 + x2 – 2.2.x.cos(180° – 120°)

$\Rightarrow$ AB2 = 4 + x2 – 2x = x2 – 2x + 4.

$\Rightarrow AB=\sqrt{x^2-2x+4}$ (km).

Vì khoảng cách từ vị trí A đến vị trí C gấp đôi khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B nên AC = 2AB.

Do đó $\sqrt{x^2+4x+7}=2.\sqrt{x^2-2x+4}$

Bình phương hai vế phương trình trên ta có:

x2 + 4x + 7 = 4.(x2 – 2x + 4)

$\Rightarrow$ x2 + 4x + 7 = 4x2 – 8x + 16

$\Rightarrow$ 3x2 – 12x + 9 = 0

$\iff$$\left[\begin{array}{l}x=3\left(ktm\right)\\ x=1\left(tm\right)\end{array}\right.$

Vậy khoảng cách từ đài quan sát O tới vị trí B là 1 km.