Lý thuyết Hàm số bậc hai và đồ thị (Chân trời sáng tạo 2024) Toán 10

Lý thuyết Toán lớp 10 Chương 3: Hàm số bậc hai và đồ thị

A. Lý thuyết Chương 3: Hàm số bậc hai và đồ thị

1. Hàm số. Tập xác định và tập giá trị của hàm số

- Giả sử x và y là hai đại lượng biến thiên và x nhận giá trị thuộc tập số D.

Nếu với mỗi giá trị x thuộc D, ta xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng y thuộc tập hợp số thực ℝ thì ta có một hàm số.

Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x.

Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số.

Tập hợp T gồm tất cả các giá trị y (tương ứng với x thuộc D) gọi là tập giá trị của hàm số.

Chú ý:

+ Ta thường dùng kí hiệu f(x) để chỉ giá trị y tương ứng với x, nên hàm số còn được viết là y = f(x).

+ Khi một hàm số được cho bằng công thức mà không chỉ rõ tập xác định thì ta quy ước:

Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.

+ Một hàm số có thể được cho bởi hai hay nhiều công thức.

2. Đồ thị hàm số

- Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị (C) của hàm số là tập hợp tất cả các điểm M(x; y) với x ∈ D và y = f(x).

Chú ý: Điểm M(xM; yM) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) khi và chỉ khi xM ∈ D và yM = f(xM).

3. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

- Với hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), ta nói:

+ Hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) nếu

∀x1, x2 ∈ (a; b), x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b) nếu

∀x1, x2 ∈ (a; b), x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).

Nhận xét:

+ Khi hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b) thì đồ thị của nó có dạng đi lên từ trái sang phải. Ngược lại, khi hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b) thì đồ thị của nó có dạng đi xuống từ trái sang phải.

4. Hàm số bậc hai

- Hàm số bậc hai theo biến x là hàm số cho bởi công thức có dạng y = f(x) = ax2 + bx + c với a, b, c là các số thực và a khác 0.

Tập xác định của hàm số bậc hai là ℝ.

5. Đồ thị hàm số bậc hai

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c (với a ≠ 0) là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ $x_S=-\frac{b}{2a}$, tung độ $y_S=-\frac{\Delta }{4a}$; (Δ = b2 – 4ac)

+ Có trục đối xứng là đường thẳng $x=-\frac{b}{2a}$  (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm quay lên trên nếu a > 0, quay xuống dưới nếu a < 0;

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng c, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; c).

Chú ý:

+ Nếu b = 2b’ thì (P) có đỉnh S $\left(-\frac{b^{\text{'}}}{a};-\frac{{\Delta }^{\text{'}}}{a}\right)$.

+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1; x2 thì đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c cắt trục hoành tại hai điểm lần lượt có hoành độ là hai nghiệm này.

*Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai:

Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c (với a ≠ 0):

- Xác định tọa độ đỉnh S$\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)$ .

- Vẽ trục đối xứng d là đường thẳng x = $-\frac{b}{2a}$ .

- Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục tung (điểm A(0; c)) và giao điểm của đồ thị với trục hoành (nếu có).

Xác định thêm điểm đối xứng với A qua trục đối xứng d, là điểm B$\left(-\frac{b}{a};c\right)$ .

- Vẽ parabol có đỉnh S, có trục đối xứng d, đi qua các điểm tìm được.

6. Sự biến thiên của hàm số bậc hai

- Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c (với a ≠ 0), ta có bảng tóm tắt về sự biến thiên của hàm số này như sau:

Chú ý: Từ bảng biến thiên của hàm số bậc hai, ta thấy:

- Khi a > 0, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{-\Delta }{4a}$  tại x =$\frac{-b}{2a}$ và hàm số có tập giá trị là $T=\left[-\frac{\Delta }{4a};+\infty \right)$ .

- Khi a < 0, hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{-\Delta }{4a}$  tại x =  $\frac{-b}{2a}$ và hàm số có tập giá trị là $T=\left(-\infty ;-\frac{\Delta }{4a}\right]$ .

7. Ứng dụng của hàm số bậc hai

Tầm bay cao và bay xa

Trong môn cầu lông, khi phát cầu, người chơi cần đánh cầu qua khỏi lưới sang phía sân đối phương và không được để cho cầu rơi ngoài biên.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chọn điểm có tọa độ (0; y0) là điểm xuất phát thì phương trình quỹ đạo của cầu lông khi rời khỏi mặt vợt là:

$y=\frac{-g.x^2}{2{v_0}^2.{\cos }^2\alpha }+\tan \left(\alpha \right).x+y_0$ 

Trong đó:

+ g là gia tốc trọng trường (thường được chọn là 9,8 m/s2);

+ α là góc phát cầu (so với phương ngang của mặt đất);

+ v0 là vận tốc ban đầu của cầu;                  

+ y0 là khoảng cách từ vị trí phát cầu đến mặt đất.

Đây là một hàm số bậc hai nên quỹ đạo chuyển động của cầu lông là một parabol.

Xét trường hợp lặng gió, với vận tốc ban đầu và góc phát cầu đã biết, cầu chuyển động theo quỹ đạo parabol nên sẽ:

- Đạt vị trí cao nhất tại đỉnh parabol, gọi là tầm bay cao;

- Rơi chạm đất ở vị trí cách nơi đứng phát cầu một khoảng, gọi là tầm bay xa.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Hàm số nào sau đây là hàm số bậc hai?

a) y = 5x2 + 2x – 1.

b) y = x3 + x + 1.

c) y = x2 + $\sqrt{x}$+1.

d) y = 1 – x – x2.

Hướng dẫn giải

+) Hàm số y = 5x2 + 2x – 1 là hàm số bậc hai bởi hàm số này được cho bởi công thức có dạng y = f(x) = ax2 + bx + c với a = 5 ≠ 0, b = 2, c = ‒1.

+) Hàm số y = x3 + x + 1 không phải là hàm số bậc hai bởi hàm số này có chứa x3, không được cho bởi công thức dạng y = f(x) = ax2 + bx + c.

+) Hàm số y = x2 +$\sqrt{x}$+1 không phải là hàm số bậc hai bởi hàm số này chứa $\sqrt{x}$ , không được cho bởi công thức dạng y = f(x) = ax2 + bx + c.

+) Hàm số y = 1 – x – x2 là hàm số bậc hai bởi hàm số này được cho bởi công thức có dạng y = f(x) = ax2 + bx + c với a = ‒1 ≠ 0, b = ‒1, c = 1.

Vậy có các hàm số y = 5x2 + 2x – 1, y = 1 – x – x2 là hàm số bậc hai.

Bài 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=\sqrt{2x+1}$ ;

b) $f\left(x\right)=1+\frac{1}{x+3}$ .

c) $f\left(x\right)=\sqrt{x+2022}+\frac{1}{x}$

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức $f\left(x\right)=\sqrt{2x+1}$ có nghĩa ⇔ 2x + 1 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ ‒ 1 ⇔ x ≥ $-\frac{1}{2}$ .

Vậy tập xác định D của hàm số này là D =$\left[-\frac{1}{2};+\infty \right)$ .

b) Biểu thức  có nghĩa ⇔ x + 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ ‒3.

Vậy tập xác định D của hàm số này là D = ℝ\ {‒3}.

c) Biểu thức $f\left(x\right)=1+\frac{1}{x+3}$ có nghĩa khi và chỉ khi:$\left\{\begin{array}{l}x+2022\ge 0\\ x\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge -2022\\ x\ne 0\end{array}\right.$

 Vậy tập xác định của hàm số này là D = [‒2022; +¥) \{0}.

Bài 3. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là đồng biến, nghịch biến? Tại sao?

a) y = f(x) = ‒ 2x + 2.

b) y = f(x) = x2.

Hướng dẫn giải

a) Hàm số y = f(x) = ‒2x + 2 xác định trên ℝ.

Xét hai giá trị x1 = 1 và x2 = 2 đều thuộc ℝ, ta có:

f(x1) = f(1) = ‒2. 1 + 2 = 0.

f(x2) = f(2) = ‒2. 2 + 2 = ‒2.

Ta thấy x1 < x2 và f(x1) > f(x2) nên hàm số y = f(x) = ‒2x + 2 là hàm số nghịch biến trên ℝ.

b) Hàm số y = f(x) = x2 xác định trên ℝ.

Xét hai giá trị x1 = 1 và x2 = 2 đều thuộc ℝ, ta có:

f(x1) = f(1) = 12 = 1.

f(x2) = f(2) = 22 = 4.

Ta thấy x1 < x2 và f(x1) < f(x2) nên hàm số y = f(x) = x2 là hàm số đồng biến trên ℝ.

Bài 4. Tìm tập xác định và vẽ đồ thị hàm số:

y = f(x) = |2x + 3|.

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số D = ℝ.

Ta có: y = |2x + 3| =$\left\{\begin{array}{l}2\text{x}+3 khi \text{x}\ge -\frac{3}{2}\\ -2\text{x}-3 khi \text{x <}-\frac{3}{2}\end{array}\right.$  

Ta vẽ đồ thị y = 2x + 3 với $\text{x}\ge -\frac{3}{2}$(d1)

Ta có bảng sau:

Suy ra đồ thị hàm số y = f(x) = 2x + 3 với $\text{x}\ge -\frac{3}{2}$  là phần đồ thị nằm bên trên trục Ox và đi qua các điểm A($-\frac{3}{2}$ ; 0) và B(0; 3).

Ta có đồ thị như sau:

Tương tự ta có đồ thị hàm số y = f(x) = - 2x - 3 với x < -$\frac{3}{2}$  là phần đồ thị nằm bên trên trục Ox và đi qua các điểm C(-2; 1) và D(-3; 3).

Kết hợp 2 đồ thị ta có đồ thị hàm số y = |2x + 3| là phần đồ thị nét liền nằm trên trục Ox.

Bài 5. Một ô tô đi từ A đến B với đoạn đường AB = s (km). Ô tô di chuyển thẳng đều với vận tốc là 40 km/h. Gọi mốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu xuất phát từ A, t là thời điểm ô tô đi ở vị trí bất kì trên đoạn AB. Hãy xác định hàm số biểu thị mối quan hệ giữa s và t, vẽ đồ thị hàm số đó và xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số từ đó rút ra nhận xét.

Hướng dẫn giải

Do thời gian luôn lớn hơn 0 nên tập xác định của hàm số ẩn t là D = (0; +∞)

Ta có công thức: Quãng đường = Vận tốc × Thời gian.

Ta có hàm số như sau: s = v. t = 40. t

Vẽ đồ thị hàm số s = 40t:

Ta có bảng sau:

Vậy các điểm có tọa độ (0,5; 20), (1; 40), (1,5; 60) thuộc đồ thị hàm số s = f(t).

Ta có đồ thị như sau:

Ta thấy đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải nên đây là hàm số đồng biến trên (0; +∞).

Nhận xét: Trong di chuyển thẳng đều, thời gian luôn tỉ lệ thuận với quãng đường. Thời gian càng lâu thì quãng đường đi được càng lớn và ngược lại.

Bài 6. Tìm điều kiện của m để hàm số y = mx2 + 4mx + 3 là hàm số bậc hai. Khi m = 1, hãy vẽ đồ thị của hàm số đó và xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số đó.

Hướng dẫn giải

Để hàm số y = mx2 + 4mx + 3 là hàm số bậc hai thì hệ số của x2 phải khác 0

⇔ m ≠ 0.

Khi m = 1 (thỏa mãn m ≠ 0) thì hàm số sẽ trở thành: y = x2 + 4x + 3 là hàm số bậc hai. Khi đó đồ thị của hàm số là một parabol (P).

Vẽ đồ thị: (các tham số a = 1, b' = 2, c = 3, ∆' = b'2 – ac = 1)

+ Có tọa độ đỉnh S(‒2; ‒1);

+ Có trục đối xứng d là đường thẳng x = ‒2 (đường thẳng đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm của parabol quay lên trên do a = 1 > 0;

+ Đồ thị cắt trục tung tại điểm A(0; 3). Điểm B đối xứng với A qua trục đối xứng d có tọa độ B(‒4; 3);

Phương trình x2 + 4x + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 = ‒3 và x2 = ‒1 nên đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm có toạ độ (‒3; 0) và (‒1; 0).

Ta có parabol sau:

Do a = 1 > 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng (‒∞; ‒2) và đồng biến trên khoảng (‒2; + ∞).

Bài 7. Cho hàm số bậc hai y = f(x) = ax2 + bx + c có f(0) = 6, f(1) = 11, f(2) = 18.

a) Hãy xác định giá trị của các hệ số a, b, c.

b) Lập bảng biến thiên của hàm số tìm được ở câu a. Hàm số này có giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất không? Tìm giá trị đó.

Hướng dẫn giải

a) +) Với f(0) = 6, thay x = 0 vào hàm số ta có:

f(0) = a. 02 + b. 0 + c = 6 ⇔ c = 6.

+) Với f(1) = 11, thay x = 1 vào hàm số ta có:

f(1) = a. 12 + b. 1 + c = 11 ⇔ a + b + c = 11 ⇔ a + b = 5.          (1)

+) Với f(2) = 18, thay x = 2 vào hàm số ta có:

f(2) = a. 22 + b. 2 + c = 18 ⇔ 4a + 2b + c = 18 ⇔ 4a + 2b = 12 ⇔ 2a + b = 6.         (2)

Trừ theo vế phương trình (2) cho phương trình (1) ta được: a = 1

Suy ra b = 4.

Khi đó phương trình bậc hai trở thành y = x2 + 4x + 6.

b) Xét hàm số y = x2 + 4x + 6 có a = 1, b' = 2, c = 6 và ∆' = b'2 – ac = ‒2.

Đỉnh S của đồ thị hàm số có tọa độ:

 $x_S=\frac{-b^{\text{'}}}{a}=-2;$$y_S=-\frac{{\Delta }^{\text{'}}}{a}=2$.

Hay S(‒2; 2).

Vì hàm số bậc hai có a = 1 > 0 nên ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x = ‒2.

Bài 8. Một người đang tập chơi cầu lông có khuynh hướng phát cầu với góc 45 độ so với mặt đất.

a) Hãy tính khoảng cách từ vị trí người phát cầu đến vị trí cầu chạm đất, biết cầu rời vợt ở độ cao 0,9 m so với mặt đất và vận tốc ban đầu của cầu là 9 m/s (bỏ qua sức cản của gió và quỹ đạo của cầu trong mặt phẳng thẳng đứng, gia tốc trọng trường là 9,8 m/s2).

b) Giả thiết như câu a và cho biết khoảng cách từ vị trí phát cầu đến lưới là 3 m. Lần phát cầu này có hỏng không? Cho biết mép trên của lưới cách mặt đất 1,524 m.

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ với vị trí rơi của cầu thuộc trục hoành và vị trí cầu rời mặt vợt thuộc trục tung.

Với g = 9,8 m/s2, góc phát cầu α = 45o, vận tốc ban đầu của cầu là v0 = 9 m/s, phương trình quỹ đạo của cầu là:

$y=\frac{-g.x^2}{2{v_0}^2.{\cos }^2\alpha }+\tan \left(\alpha \right).x+y_0$

$=\frac{-9,8.x^2}{{2.9}^2.co{s}^{2}45°}+\tan 45°.x+0,9$

$=\frac{-9,8.x^2}{{2.9}^2.{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2}+1.x+0,9$

 

 

$=-\frac{49}{405}{x}^2+x+0,9$(với x ≥ 0)

Vị trí cầu rơi chạm đất là giao điểm của parabol và trục hoành nên y = 0.

Giải phương trình y = 0 ⇔$-\frac{49}{405}{x}^2+x+0,9=0$ ta được 2 nghiệm là x1 ≈ 9,08 (thỏa mãn) và x2 ≈ - 0,82 (không thỏa mãn)

Giá trị nghiệm cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi đến vị trí cầu rơi chạm đất là 9,08 m.

b) Khi cầu bay tới vị trí lưới phân cách, nếu nó ở bên trên mặt lưới và điểm rơi không ra khỏi đường biên phía bên sân đối phương thì lần phát cầu mới được xem là hợp lệ.

Ta cần so sánh tung độ của điểm trên quỹ đạo (có hoành độ bằng khoảng cách từ gốc tọa độ đến chân lưới phân cách) với chiều cao mép trên của lưới để tìm câu trả lời.

Khi x = 3, ta có y = $-\frac{49}{405}{.3}^2+3+0,9$ ≈  2,81 m > 1,524 m

Như vậy lần phát cầu này thỏa mãn qua lưới.

Ta có:

Điểm bên trong sẽ cách vị trí phát: 3 + 1,98 = 4,98m.

Điểm bên ngoài sẽ cách vị trí phát: 3 + 6,7 = 9,7 m.

Do vị trí cầu rơi chạm đất là 9,08 m, nằm trong khoảng giữa điểm trong và điểm ngoài nên lần phát cầu này hợp lệ.

Vậy với vận tốc xuất phát của cầu là 9 m/s thì lần phát này hợp lệ.

Bài 9. Cho một vật rơi từ trên cao xuống với vận tốc ban đầu là 5 m/s. Viết hàm số biểu thị quãng đường rơi s theo thời gian t và vẽ đồ thị của hàm số đó, lúc t = 5s thì vật đã rơi được bao nhiêu mét, biết g = 10m/s2, hệ trục tọa độ chọn mốc từ lúc vật bắt đầu rơi, gốc tọa độ ở vật tại thời điểm bắt đầu rơi.

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc ban đầu của vật là v0 = 5 m/s.

Do đây là vật rơi nên vật sẽ chuyển động nhanh dần đều.

Suy ra hàm số biểu thị quãng đường rơi s theo thời gian t là:

s = s0 + v0t + gt2.

Ta thấy hệ trục tọa độ chọn mốc từ lúc vật bắt đầu rơi, gốc tọa độ ở vật tại thời điểm bắt đầu rơi nên s0 = 0, thời gian là đại lượng không âm nên t ≥ 0.

Ta vẽ đồ thị hàm số: s = f(t) = 5t + 5t2.

Đồ thị hàm số s = f(t) = 5t + 5t2 trên hệ trục tọa độ Oxy (trục Oy thay cho Os, Ox thay cho Ot) là Parabol có đỉnh S(-0,5; -1,25), trục đối xứng x = -0,5, đi qua các điểm (0; 0) và (-1; 0).

Đồ thị hàm số: s = f(t) = 5t + 5t2 với t ≥ 0 thì ta chỉ lấy phần x ≥ 0 của (P) nên ta có phần đồ thị nét liền như hình vẽ dưới đây.

Khi t = 5 thì vật đã rơi được quãng đường là:

s = f(5) = 5. 5 + 5. 52 = 150 (m).

Vậy sau 5s thì vật rơi được 150 m.

Bài 10. Một lớp muốn thuê một chiếc xe khách cho chuyến tham quan với tổng đoạn đường cần di chuyển trong khoảng từ 300 km đến 450 km, có hai công ty được tiếp cận để tham khảo giá.

Công ty A có giá khởi đầu là 3,5 triệu đồng cộng thêm 5 000 đồng cho mỗi ki-lô-mét chạy xe.

Công ty B có giá khởi đầu là 2,75 triệu đồng cộng thêm 7 500 đồng cho mỗi ki-lô-mét chạy xe. Lớp đó nên chọn công ty nào để chi phí là thấp nhất?

Hướng dẫn giải:

Đổi 3,5 triệu đồng = 3 500 000 đồng; 2,75 triệu đồng = 2 750 000 đồng.

Gọi x (km) là tổng đoạn đường cần di chuyển của lớp (300 ≤ x ≤ 450) và y là chi phí lớp đó phải trả cho việc thuê xe.

Ta có với mỗi giá trị của x có đúng một giá trị của y nên y là hàm số của x.

Đối với công ty A, ta có số tiền cần trả được biểu diễn theo hàm số: 

yA = 3 500 000 + 5000x

Vì 300 ≤ x ≤ 450 nên 5 000 000 ≤ 3 500 000 + 5000x ≤ 5 750 000 hay 5 000 000 ≤  yA ≤ 5 750 000.

Đối với công ty B, ta có số tiền cần trả được biểu diễn theo hàm số: 

yB = 2 750 000 + 7500x

Vì 300 ≤ x ≤ 450 nên 5 000 000 ≤ 2 750 000 + 7500x  ≤ 6 125 000 hay 5 000 000 ≤ yB ≤ 6 125 000.

Ta thấy khoảng chi phí cho việc thuê xe của công ty A thấp hơn so với khoảng chi phí cho việc thuê xe ở công ty B với cùng số ki – lô – mét di chuyển.

Vậy để chi phí là thấp nhất thì lớp đó nên chọn xe của công ty A.

Bài 11. Khi du lịch đến thành phố St.Louis (Mỹ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề lõm xuống dưới, đó là cổng Arch. Giả sử ta lập một hệ tọa độ Oxy sao cho một chân cổng đi qua gốc O như hình vẽ (x và y tính bằng mét), chân kia của cổng có vị trí tọa độ (162; 0). Biết một điểm M trên cổng có tọa độ là (10; 43). Tính chiều cao của cổng (tính từ điểm cao nhất trên cổng xuống mặt đất), làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

Hướng dẫn giải:

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy:

Cổng Arch có dạng hình parabol nên có dạng: y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) (1)

 Ta có parabol này đi qua gốc tọa độ O(0; 0), điểm M(10; 43) và điểm có tọa độ (162; 0).

Vì điểm O(0; 0) thuộc đồ thị hàm số nên thay x = 0 và y = 0 vào đồ thị hàm số (1) ta được: 0 = a . 02 + b . 0 + c ⇔ c = 0

Vì điểm M(10; 43) thuộc đồ thị hàm số nên thay x = 10 và y = 43 vào đồ thị hàm số (1) ta được: 43 = a.102 + b.10 + c ⇔ 100a + 10b = 43 (do c = 0)

Vì điểm có tọa độ (162; 0) thuộc đồ thị hàm số nên thay x = 162 và y = 0 vào đồ thị hàm số (1) ta được: 0 = a.1622 + b. 162 + c ⇔ 26 244a + 162b = 0 hay 162a + b = 0

Khi đó ta có hệ phương trình:$\left\{\begin{array}{l}100a+10b=43\\ 162a+b=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}100a+10b=43\\ b=-162a\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}100a+10\left(-162a\right)=43\\ b=-162a\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}100a+10\left(-162a\right)=43\\ b=-162a\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a=-\frac{43}{1520}\\ b=\frac{3483}{760}\end{array}\right.$

 

 

Do đó: $y=\frac{-43}{1520}{x}^2+\frac{3483}{760}x$

Ta có , parabol có bề lõm hướng xuống dưới nên điểm cao nhất chính là điểm đỉnh của parabol và khi đó chiều cao của cổng chính là tung độ đỉnh của parabol.

Ta có: $\Delta =b^2-4ac={\left(\frac{3483}{760}\right)}^2-0={\left(\frac{3483}{760}\right)}^2$

Tung độ của đỉnh:$-\frac{\Delta }{4a}=-\left({\left(\frac{3483}{760}\right)}^2:\left(4.\frac{-43}{1520}\right)\right)\approx 186$.

Vậy chiều cao của cổng khoảng 186 m.