Lý thuyết Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ (Chân trời sáng tạo 2024) Toán 10

Lý thuyết Toán lớp 10 Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

A. Lý thuyết Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

1. Phương trình đường thẳng

1.1. Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ $\overrightarrow{u}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và giá của $\overrightarrow{u}$ song song hoặc trùng với ∆.

Vectơ $\overrightarrow{n}$được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{n}$ vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆.

Chú ý:

• Nếu đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$ thì ∆ sẽ nhận $\overrightarrow{u}=\left(b;-a\right)$ hoặc $\overrightarrow{u}=\left(-b;a\right)$ là một vectơ chỉ phương.

• Nếu $\overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ thì $k\overrightarrow{u}$ (k ≠ 0) cũng là vectơ chỉ phương của ∆.

• Nếu $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì $k\overrightarrow{n}$ (k ≠ 0) cũng là vectơ pháp tuyến của ∆.

Ví dụ:

a) Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(\frac{2}{3};\frac{-1}{3}\right)$. Tìm một vectơ pháp tuyến của d.

b) Cho đường thẳng d’ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(3;7\right)$. Tìm ba vectơ chỉ phương của d’.

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(\frac{2}{3};\frac{-1}{3}\right)$.

Suy ra d cũng có vectơ chỉ phương $3\overrightarrow{u}=\left(2;-1\right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;2\right)$.

Vậy d có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;2\right)$.

b)

• d’ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(3;7\right)$.

Suy ra d’ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(-7;3\right)$; $-\overrightarrow{u}=\left(7;-3\right)$.

• d’ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(-7;3\right)$.

Suy ra d’ cũng có vectơ chỉ phương $2\overrightarrow{u}=\left(-14;6\right)$.

Vậy ba vectơ chỉ phương của d’ là $\overrightarrow{u}=\left(-7;3\right)$; $-\overrightarrow{u}=\left(7;-3\right)$; $2\overrightarrow{u}=\left(-14;6\right)$.

1.2. Phương trình tham số của đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, ta gọi:

$\left\{\begin{array}{l}x=x_0+t{u}_1\\ y=y_0+t{u}_2\end{array}\right.$   (với $u_1^2+u_2^2>0,t\in ℝ$)

là phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0; y0), có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(u_1;u_2\right)$.

Chú ý: Cho t một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng ∆ và ngược lại.

Ví dụ:

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(1; 3) và nhận $\overrightarrow{u}=\left(2;9\right)$ làm vectơ chỉ phương.

b) Trong các điểm A(2; 5), B(3; 12), C(–4; 6) thì điểm nào thuộc đường thẳng d?

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(2;9\right)$.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3+9t\end{array}\right..$

b)

• Thay tọa độ điểm A vào phương trình tham số của đường thẳng d, ta được:

$\left\{\begin{array}{l}2=1+2t\\ 5=3+9t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t=\frac{1}{2}\\ t=\frac{2}{9}\end{array}\right.$  (vô lý).

Khi đó A(2; 5) ∉ d.

• Thay tọa độ điểm B vào phương trình tham số của đường thẳng d, ta được:

$\left\{\begin{array}{l}3=1+2t\\ 12=3+9t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t=1\\ t=1\end{array}\right.\iff t=1$.

Khi đó B(3; 12) ∈ d.

• Thay tọa độ điểm C vào phương trình tham số của đường thẳng d, ta được:

$\left\{\begin{array}{l}-4=1+2t\\ 6=3+9t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t=\frac{-5}{2}\\ t=\frac{1}{3}\end{array}\right.$  (vô lý).

Khi đó C(–4; 6) ∉ d.

Vậy chỉ có điểm B thuộc đường thẳng d.

1.3. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, mỗi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng: ax + by + c = 0, với a và b không đồng thời bằng 0.

Chú ý:

• Mỗi phương trình ax + by + c = 0 (a và b không đồng thời bằng 0) đều xác định một đường thẳng có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$.

• Khi cho phương trình đường thẳng ax + by + c = 0, ta hiểu a và b không đồng thời bằng 0.

Ví dụ: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường thẳng ∆ đi qua điểm H(2; 1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(-2;-1\right)$.

b) Đường thẳng ∆ đi qua điểm K(5; –8) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(3;-4\right)$.

c) Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm M(6; 3), N(9; 1).

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng ∆ đi qua điểm H(2; 1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(-2;-1\right)$ nên ta có phương trình tổng quát của ∆ là: –2(x – 2) – 1(y – 1) = 0

⇔ –2x – y + 5 = 0.

Vậy phương trình tổng quát của ∆ là –2x – y + 5 = 0.

b) ∆ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(3;-4\right)$ nên ∆ nhận $\overrightarrow{n}=\left(4;3\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng ∆ đi qua điểm K(5; –8) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(4;3\right)$ nên ta có phương trình tổng quát của ∆ là: 4(x – 5) + 3(y + 8) = 0

⇔ 4x + 3y + 4 = 0.

Vậy phương trình tổng quát của ∆ là 4x + 3y + 4 = 0.

c) Với M(6; 3), N(9; 1) ta có: $\overrightarrow{MN}=\left(3;-2\right)$.

∆ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{MN}=\left(3;-2\right)$ nên ∆ nhận $\overrightarrow{n}=\left(2;3\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(6; 3) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;3\right)$ nên phương trình tổng quát của ∆ là: 2(x – 6) + 3(y – 3) = 0

⇔ 2x + 3y – 21 = 0.

Vậy phương trình tổng quát của ∆ là 2x + 3y – 21 = 0.

Nhận xét:

• Phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(xA; yA), B(xB; yB) có dạng:

$\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}$ (với xB ≠ xA, yB ≠ yA).

• Nếu đường thẳng ∆ cắt trục Ox và Oy tại A(a; 0) và B(0; b) (a, b khác 0) thì phương trình ∆ có dạng:

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$    (1).

Phương trình (1) còn được gọi là phương trình đoạn chắn.

Ví dụ:

+) Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm P(2; 5), Q(1; 8).

Suy ra phương trình đường thẳng ∆: $\frac{x-2}{1-2}=\frac{y-5}{8-5}\iff \frac{x-2}{-1}=\frac{y-5}{3}$.

Vậy phương trình đường thẳng ∆ là $\frac{x-2}{-1}=\frac{y-5}{3}$.

+) Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm X(–4; 0) và Y(0; 5).

Vậy phương trình đoạn chắn của ∆: $\frac{x}{-4}+\frac{y}{5}=1$.

1.4. Liên hệ giữa đồ thị hàm số bậc nhất và đường thẳng

Ta đã biết đồ thị của hàm số bậc nhất y = kx + y0 (k ≠ 0) là một đường thẳng d đi qua điểm M(0; y0) và có hệ số góc k. Ta có thể viết: y = kx + y0 ⇔ kx – y + y0 = 0.

Như vậy, đồ thị hàm bậc nhất y = kx + y0 là một đường thẳng có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(k;-1\right)$ và có phương trình tổng quát là kx – y + y0 = 0. Đường thẳng này không vuông góc với Ox và Oy.

Ngược lại, cho đường thẳng d có phương trình tổng quát ax + by + c = 0 với a và b đều khác 0, khi đó ta có thể viết: ax + by + c = 0 $\iff y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$ ⇔ y = kx + y0.

Như vậy d là đồ thị của hàm bậc nhất y = kx + y0 với hệ số góc $k=-\frac{a}{b}$ và tung độ gốc $y_0=-\frac{c}{b}$.

Ví dụ:

+) Cho đường thẳng d có phương trình: y = 2x + 1 ⇔ 2x – y + 1 = 0.

Ta suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là $\overrightarrow{n}=\left(2;-1\right)$.

+) Cho đường thẳng d’ có phương trình: x + 5y – 2 = 0 $\iff y=-\frac{1}{5}x+\frac{2}{5}$.

Khi đó ta có d là đồ thị của hàm bậc nhất y = kx + y0, với hệ số góc $k=-\frac{1}{5}$ và tung độ gốc $y_0=\frac{2}{5}$.

Chú ý:

• Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình tổng quát ax + by + c = 0 trở thành $y=-\frac{c}{b}$.

Khi đó d là đường thẳng vuông góc với Oy tại điểm $\left(0;-\frac{c}{b}\right)$.

• Nếu b = 0 và a ≠ 0 thì phương trình tổng quát ax + by + c = 0 trở thành $x=-\frac{c}{a}$.

Khi đó d là đường thẳng vuông góc với Ox tại điểm $\left(-\frac{c}{a};0\right)$.

Trong cả hai trường hợp trên, đường thẳng d không phải là đồ thị của hàm số bậc nhất.

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 ($a_1^2+b_1^2>0$) có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_1$ và đường thẳng ∆2: a2x + b2y + c2 = 0 ($a_2^2+b_2^2>0$) có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_2$.

Ta có thể dùng phương pháp tọa độ để xét vị trí tương đối của ∆1 và ∆2 như sau:

– Nếu ${\overrightarrow{n}}_1$ và ${\overrightarrow{n}}_2$ cùng phương thì ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau. Lấy một điểm P tùy ý trên ∆1.

+ Nếu P ∈ ∆2 thì ∆1 ≡ ∆2.

+ Nếu P ∉ ∆2 thì ∆1 // ∆2.

– Nếu ${\overrightarrow{n}}_1$ và ${\overrightarrow{n}}_2$ không cùng phương thì ∆1 và ∆2 cắt nhau tại một điểm M(x0; y0) với (x0; y0) là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_1=0\\ a_{2}x+b_{2}y+c_2=0\end{array}\right.$.

Chú ý:

a) Nếu ${\overrightarrow{n}}_1.{\overrightarrow{n}}_2=0$ thì ${\overrightarrow{n}}_1\perp {\overrightarrow{n}}_2$, suy ra ∆1 ⊥ ∆2.

b) Để xét hai vectơ ${\overrightarrow{n}}_1\left(a_1;b_1\right)$ và ${\overrightarrow{n}}_2\left(a_2;b_2\right)$ cùng phương hay không cùng phương, ta xét biểu thức a1b2 – a2b1:

+ Nếu a1b2 – a2b1 = 0 thì hai vectơ cùng phương.

+ Nếu a1b2 – a2b1 ≠ 0 thì hai vectơ không cùng phương.

Trong trường hợp tất cả các hệ số a1, a2, b1, b2 đều khác 0, ta có thể xét hai trường hợp:

+ Nếu $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}$ thì hai vectơ cùng phương.

+ Nếu $\frac{a_1}{a_2}\ne \frac{b_1}{b_2}$ thì hai vectơ không cùng phương.

Ví dụ: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

a) ∆1: 4x – 10y + 1 = 0 và ∆2: x + y + 2 = 0.

b) ∆1: 12x – 6y + 6 = 0 và ∆2: 2x – y + 5 = 0.

c) ∆1: 8x + 10y – 12 = 0 và ∆2: $\left\{\begin{array}{l}x=-6+5t\\ y=6-4t\end{array}\right.$

d) ∆1: $\left\{\begin{array}{l}x=-1-5t\\ y=2+4t\end{array}\right.$ và ∆2: $\left\{\begin{array}{l}x=-6+4t^{\text{'}}\\ y=2+5t^{\text{'}}\end{array}\right.$

Hướng dẫn giải

a) ∆1: 4x – 10y + 1 = 0 và ∆2: x + y + 2 = 0.

∆1 và ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\overrightarrow{n}}_1=\left(4;-10\right)$ và ${\overrightarrow{n}}_2=\left(1;1\right)$.

Ta có $\frac{4}{1}\ne \frac{-10}{1}$.

Suy ra ${\overrightarrow{n}}_1$ và ${\overrightarrow{n}}_2$ là hai vectơ không cùng phương.

Khi đó ta có ∆1 và ∆2 cắt nhau tại một điểm M. 

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}4x-10y+1=0\\ x+y+2=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-\frac{3}{2}\\ y=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Suy ra $M\left(-\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right)$.

Vậy ∆1 cắt ∆2 tại điểm $M\left(-\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right)$.

b) ∆1: 12x – 6y + 6 = 0 và ∆2: 2x – y + 5 = 0.

∆1 và ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\overrightarrow{n}}_1=\left(12;-6\right)$ và ${\overrightarrow{n}}_2=\left(2;-1\right)$.

Ta có $\frac{12}{2}=\frac{-6}{-1}$.

Suy ra ${\overrightarrow{n}}_1$ và ${\overrightarrow{n}}_2$  là hai vectơ cùng phương.

Khi đó ta có ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau.

Chọn M(0; 1) ∈ ∆1.

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng ∆2, ta được: 2.0 – 1 + 5 = 4 ≠ 0.

Suy ra M(0; 1) ∉ ∆2.

Vậy ∆1 // ∆2.

c) ∆1: 8x + 10y – 12 = 0 và ∆2: $\left\{\begin{array}{l}x=-6+5t\\ y=6-4t\end{array}\right.$

∆1 có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_1=\left(8;10\right)$.

∆2 có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_2=\left(5;-4\right)$.

Suy ra ∆2 có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_2=\left(4;5\right)$.

Ta có $\frac{8}{4}=\frac{10}{5}$.

Suy ra ${\overrightarrow{n}}_1$ và ${\overrightarrow{n}}_2$ là hai vectơ cùng phương.

Khi đó ta có ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau.

Chọn M(–6; 6) ∈ ∆2.

Thế tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng ∆1, ta được: 8.(–6) + 10.6 – 12 = 0.

Suy ra M(–6; 6) ∈ ∆1.

Vậy ∆1 ≡ ∆2.

d) ∆1: $\left\{\begin{array}{l}x=-1-5t\\ y=2+4t\end{array}\right.$ và ∆2: $\left\{\begin{array}{l}x=-6+4t^{\text{'}}\\ y=2+5t^{\text{'}}\end{array}\right.$

• ∆1 có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_1=\left(-5;4\right)$.

Suy ra ∆1 có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{u}}_2=\left(4;5\right)$.

• ∆2 có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_2=\left(4;5\right)$.

Suy ra ∆2 có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_2=\left(5;-4\right)$.

∆1 và ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\overrightarrow{n}}_1=\left(4;5\right)$ và ${\overrightarrow{n}}_2=\left(5;-4\right)$.

Ta có ${\overrightarrow{n}}_1.{\overrightarrow{n}}_2=$ 4.5 + 5.(–4) = 0.

Suy ra ${\overrightarrow{n}}_1\perp {\overrightarrow{n}}_2$.

Do đó ∆1 ⊥ ∆2.

∆1 đi qua điểm A(–1; 2) và có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_1=\left(4;5\right)$.

Suy ra phương trình tổng quát của ∆1: 4(x + 1) + 5(y – 2) = 0 ⇔ 4x + 5y – 6 = 0.

Tương tự, ta tìm được phương trình tổng quát của ∆2: 5x – 4y + 38 = 0.

Gọi M(x; y) là giao điểm của ∆1 và ∆2.

Suy ra tọa độ điểm M thỏa hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}4x+5y-6=0\\ 5x-4y+38=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-\frac{166}{41}\\ y=\frac{182}{41}\end{array}\right.$

Khi đó ta có tọa độ là $M\left(-\frac{166}{41};\frac{182}{41}\right)$.

Vậy ∆1 và ∆2 vuông góc với nhau tại điểm $M\left(-\frac{166}{41};\frac{182}{41}\right)$.

3. Góc giữa hai đường thẳng

3.1. Khái niệm góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tạo thành bốn góc.

• Nếu ∆1 không vuông góc với ∆2 thì góc nhọn trong bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2.

• Nếu ∆1 vuông góc với ∆2 thì ta nói góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 90°.

Ta quy ước: Nếu ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau thì góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 0°.

Như vậy góc α giữa hai đường thẳng luôn thỏa mãn: 0° ≤ α ≤ 90°.

Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được kí hiệu là $\left(\widehat{{\Delta }_1,{\Delta }_2}\right)$ hoặc (∆1, ∆2).

Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD có $\widehat{CBD}=30°$.

Tính các góc: (BD, BC), (AB, AD), (AD, BC), (AB, BD).

Hướng dẫn giải

Ta có:

+) $\widehat{CBD}=30°$. Suy ra (BD, BC) = 30°.

+) Vì AB ⊥ AD nên (AB, AD) = 90°.

+) Vì AD // BC nên (AD, BC) = 0°.

+) Ta có $\widehat{ABD}+\widehat{DBC}=90°$ (Vì AB ⊥ BC).

$\iff \widehat{ABD}=90°-\widehat{DBC}=90°-30°=60°$.

Vì $\widehat{ABD}=60°$ nên (AB, BD) = 60°.

Vậy (BD, BC) = 30°, (AB, AD) = 90°, (AD, BC) = 0°, (AB, BD) = 60°.

3.2. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng

Đường thẳng ∆1 và ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\overrightarrow{n}}_1=\left(a_1;b_1\right),{\overrightarrow{n}}_2=\left(a_2;b_2\right)$.

Ta có công thức: $\cos \left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\frac{\left|a_1{a}_2+b_1{b}_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}.\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$.

Nhận xét: Nếu ∆1, ∆2 có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2$ thì $\cos \left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\left|\cos \left({\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2\right)\right|$.

Chú ý: Ta đã biết hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi chúng có hai vectơ pháp tuyến vuông góc. Do đó:

• Nếu ∆1 và ∆2 lần lượt có phương trình a1x + b1y + c1 = 0 và a2x + b2y + c2 = 0 thì ta có:

(∆1, ∆2) = 90° ⇔ a1a2 + b1b2 = 0.

• Nếu ∆1 và ∆2 lần lượt có phương trình y = k1x + m1 và y = k2x + m2 thì ta có:

(∆1, ∆2) = 90° ⇔ k1k2 = –1.

Nói cách khác, hai đường thẳng có tích các hệ số góc bằng –1 thì vuông góc với nhau.

Ví dụ: Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 trong các trường hợp sau:

a) d1: x – 2y + 5 = 0 và d2: 3x – y = 0.

b) d1: 4x + 3y – 21 = 0 và d2: $\left\{\begin{array}{l}x=2-6t\\ y=-1+8t\end{array}\right.$

c) d1: $\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=1+2t\end{array}\right.$ và d2: $\left\{\begin{array}{l}x=2-4t^{\text{'}}\\ y=5-2t^{\text{'}}\end{array}\right.$

Hướng dẫn giải

a) d1: x – 2y + 5 = 0 và d2: 3x – y = 0

d1, d2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\overrightarrow{n}}_1=\left(1;-2\right),{\overrightarrow{n}}_2=\left(3;-1\right)$.

Ta có $\cos \left(d_1,d_2\right)=\frac{\left|1.3+\left(-2\right).\left(-1\right)\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2}.\sqrt{3^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Suy ra (d1, d2) = 45°.

Vậy (d1, d2) = 45°.

b) d1: 4x + 3y – 21 = 0 và d2: $\left\{\begin{array}{l}x=2-6t\\ y=-1+8t\end{array}\right.$ 

d1 có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_1=\left(4;3\right)$.

d2 có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_2=\left(-6;8\right)$ nên có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_2=\left(8;6\right)$.

Ta có ${\overrightarrow{n}}_2=2{\overrightarrow{n}}_1$.

Suy ra ${\overrightarrow{n}}_2$ // ${\overrightarrow{n}}_1$.

Vậy (d1, d2) = 0°.

c) d1: $\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=1+2t\end{array}\right.$ và d2: $\left\{\begin{array}{l}x=2-4t^{\text{'}}\\ y=5-2t^{\text{'}}\end{array}\right.$

d1, d2 có vectơ chỉ phương lần lượt là ${\overrightarrow{u}}_1=\left(-1;2\right),{\overrightarrow{u}}_2=\left(-4;-2\right)$.

Ta có ${\overrightarrow{u}}_1.{\overrightarrow{u}}_2=$ (–1).(–4) + 2.(–2) = 0.

Suy ra ${\overrightarrow{u}}_1\perp {\overrightarrow{u}}_2\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_1\perp {\overrightarrow{n}}_2$

Vậy (d1, d2) = 90°.

4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ có phương trình ax + by + c = 0 (a2 + b2 > 0) và điểm M0(x0; y0). Khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng ∆, kí hiệu là d(M0, ∆), được tính bởi công thức: $d\left(M_0,\Delta \right)=\frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được cho tương ứng như sau:

a) A(3; 4) và ∆: 4x + 3y + 1 = 0.

b) B(1; 2) và d: 3x – 4y + 1 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Với A(3; 4) và ∆: 4x + 3y + 1 = 0 ta có:

$d\left(A,\Delta \right)=\frac{\left|4.3+3.4+1\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=5$.

Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ bằng 5.

b) Với B(1; 2) và d: 3x – 4y + 1 = 0 ta có:

$d\left(B,d\right)=\frac{\left|3.1-4.2+1\right|}{\sqrt{3^2+{\left(-4\right)}^2}}=\frac{4}{5}$.

Vậy khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d bằng $\frac{4}{5}$.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho đường thẳng d: 3x – 2y + 1 = 0 và điểm M(1; 2). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M và tạo với đường thẳng d một góc 45°.

Hướng dẫn giải

Gọi $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.

Phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(1; 2) có dạng: a(x – 1) + b(y – 2) = 0.

⇔ ax + by – a – 2b = 0.

Đường thẳng d: 3x – 2y + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}^{\text{'}}=\left(3;-2\right)$.

Góc giữa hai đường thẳng ∆ và d là:

cos(∆, d) =$\frac{\left|3a+\left(-2\right).b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{3^2+{\left(-2\right)}^2}}=\frac{\left|3a-2b\right|}{\sqrt{13}.\sqrt{a^2+b^2}}$

Theo đề, ta có ∆ tạo với d một góc 45°.

Suy ra $\cos 45°=\frac{\left|3a-2b\right|}{\sqrt{13}.\sqrt{a^2+b^2}}$.

$\iff \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\left|3a-2b\right|}{\sqrt{13}.\sqrt{a^2+b^2}}$

$\iff \sqrt{26\left(a^2+b^2\right)}=2\left|3a-2b\right|$

⇔ 26a2 + 26b2 = 4(9a2 – 12ab + 4b2)

⇔ –10a2 + 48ab + 10b2 = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}a=5b\\ a=-\frac{1}{5}b\end{array}\right.$

• Với a = 5b, ta chọn a = 5.

Ta suy ra b = 1.

Khi đó ta nhận được phương trình đường thẳng ∆: 5x + y – 7 = 0.

• Với $a=-\frac{1}{5}b$, ta chọn a = 1.

Ta suy ra b = –5.

Khi đó ta nhận được phương trình đường thẳng ∆: x – 5y + 9 = 0.

Vậy có hai đường thẳng ∆ thỏa yêu cầu bài toán có phương trình lần lượt là 5x + y – 7 = 0 và x – 5y + 9 = 0.

Bài 2. Cho ∆ABC có A(–2; 3), B(2; 5), C(5; 1).

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB và AC.

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng BC.

c) Tính khoảng cách từ điểm B lần lượt đến cạnh AC và tính diện tích tam giác ABC.

d) Viết phương trình đường trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

a)

• Với A(–2; 3), B(2; 5) ta có $\overrightarrow{AB}=\left(4;2\right)$.

Do đó đường thẳng AB có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{AB}=\left(2;-4\right)$.

Đường thẳng AB đi qua A(–2; 3) và nhận ${\overrightarrow{n}}_{AB}=\left(2;-4\right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình tổng quát là:

2(x + 2) – 4(y – 3) = 0 ⇔ x – 2y + 8 = 0.

• Với A(–2; 3), C(5; 1) ta có $\overrightarrow{AC}=\left(7;-2\right)$.

Do đó đường thẳng AC có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{AC}=\left(2;7\right)$.

Đường thẳng AC đi qua A(–2; 3) và nhận ${\overrightarrow{n}}_{AC}=\left(2;7\right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình tổng quát là:

2(x + 2) + 7(y – 3) = 0 ⇔ 2x + 7y – 17 = 0.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng AB, AC lần lượt là x – 2y + 8 = 0, 2x + 7y – 17 = 0.

b) Với B(2; 5), C(5; 1) ta có $\overrightarrow{BC}=\left(3;-4\right)$.

Đường thẳng BC đi qua B(2; 5) và nhận $\overrightarrow{BC}=\left(3;-4\right)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là:

$\left\{\begin{array}{l}x=2+3t\\ y=5-4t\end{array}\right.$

Vậy phương trình tham số của đường thẳng BC là $\left\{\begin{array}{l}x=2+3t\\ y=5-4t\end{array}\right.$

c) Với B(2; 5) và đường thẳng AC: 2x + 7y – 17 = 0 ta có:

$d\left(B,AC\right)=\frac{\left|2.2+7.5-17\right|}{\sqrt{2^2+7^2}}=\frac{22\sqrt{53}}{53}$.

Vậy khoảng cách từ điểm B đến cạnh AC bằng $\frac{22\sqrt{53}}{53}$.

Ta có $\overrightarrow{AC}=\left(7;-2\right)$ nên $AC=\sqrt{7^2+{\left(-2\right)}^2}=\sqrt{53}$.

$S_{ABC}=\frac{1}{2}.d\left(B,AC\right).AC=\frac{1}{2}.\frac{22\sqrt{53}}{53}.\sqrt{53}=11$  (đvdt).

Vậy diện tích ∆ABC bằng 11 đvdt.

d) Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó tọa độ của điểm I thỏa mãn:

$\left\{\begin{array}{c}{x}_I=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-2+2}{2}=0\\ y_I=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{3+5}{2}=4\end{array}\right.$

Suy ra I(0; 4).

Ta có $\overrightarrow{CI}=(0-5;4-1)=(-5;3)$.

Đường trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC chính là đường thẳng đi qua hai điểm C và I, tức là đường thẳng CI.

Do đó đường thẳng CI đi qua C(5; 1) có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{CI}(-5;3)$.

Phương trình tham số của đương thẳng CI là : $\left\{\begin{array}{l}x=5-5t\\ y=1+3t\end{array}\right.$.

Vậy phương trình tham số của đường trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC là: $\left\{\begin{array}{l}x=5-5t\\ y=1+3t\end{array}\right.$.

Bài 3. Cho hai đường thẳng ∆1: (m – 3)x + 2y + m2 – 1 = 0 và ∆2: –x + my + (m – 1)2 = 0.

a) Xác định vị trí tương đối và xác định giao điểm (nếu có) của ∆1 và ∆2 trong các trường hợp m = 0, m = 1.

b) Tìm m để hai đường thẳng ∆1 và ∆2 song song với nhau.

Hướng dẫn giải

a)

• Nếu m = 0 thì:

Phương trình ∆1: –3x + 2y – 1 = 0 và phương trình ∆2: –x + 1 = 0.

Đường thẳng ∆1, ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\overrightarrow{n}}_1=\left(-3;2\right),{\overrightarrow{n}}_2=\left(-1;0\right)$.

Ta có a1b2 – a2b1 = (–3).0 + 3.(–1) = –3 ≠ 0.

Suy ra ${\overrightarrow{n}}_1,{\overrightarrow{n}}_2$ là hai vectơ không cùng phương.

Khi đó ta có ∆1, ∆2 cắt nhau tại điểm M.

Vì M là giao điểm của ∆1 và ∆2 nên tọa độ điểm M thỏa hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}-3x+2y-1=0\\ -x+1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\right.$

Suy ra M(1; 2).

• Nếu m = 1 thì:

Phương trình ∆1: –2x + 2y = 0 và phương trình ∆2: –x + y = 0.

Đường thẳng ∆1, ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\overrightarrow{n}}_1=\left(-2;2\right),{\overrightarrow{n}}_2=\left(-1;1\right)$.

Ta có $\frac{-2}{-1}=\frac{2}{1}$.

Suy ra ${\overrightarrow{n}}_1,{\overrightarrow{n}}_2$ là hai vectơ cùng phương.

Khi đó ta có ∆1, ∆2 song song hoặc trùng nhau.

Chọn điểm O(0; 0) ∈ ∆1.

Thay tọa độ điểm O vào phương trình ∆2 ta được: –0 + 0 = 0 (đúng).

Suy ra O(0; 0) ∈ ∆2.

Do đó ∆1 ≡ ∆2.

Vậy khi m = 0 thì ∆1 cắt ∆2 tại điểm M(1; 2) và khi m = 1 thì ∆1 trùng ∆2.

b) ∆1: (m – 3)x + 2y + m2 – 1 = 0 và ∆2: –x + my + (m – 1)2 = 0.

∆1, ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\overrightarrow{n}}_1=\left(m-3;2\right),{\overrightarrow{n}}_2=\left(-1;m\right)$.

Chọn $B\left(0;\frac{1-m^2}{2}\right)\in {\Delta }_1$.

∆1 // ∆2 khi và chỉ khi ${\overrightarrow{n}}_1,{\overrightarrow{n}}_2$ là hai vectơ cùng phương và B ∉ ∆2.

Ta có ${\overrightarrow{n}}_1,{\overrightarrow{n}}_2$ là hai vectơ cùng phương.

⇔ a1b2 – a2b1 = 0.

⇔ (m – 3).m – 2.(–1) = 0.

⇔ m2 – 3m + 2 = 0.

⇔ m = 1 hay m = 2.

Ở câu a), ta đã chứng minh được ∆1 trùng ∆2 khi m = 1.

Do đó ta loại m = 1.

Với m = 2, ta có tọa độ $B\left(0;-\frac{3}{2}\right)$ và phương trình ∆2: –x + 2y + 1 = 0.

Thay tọa độ B vào phương trình ∆2, ta được: $-0+2.\left(-\frac{3}{2}\right)+1=-2\ne 0$.

Suy ra với m = 2, B ∉ ∆2.

Vậy m = 2 thì ∆1 // ∆2.

Bài 4. Tìm m để góc hợp bởi hai đường thẳng ∆1: $\sqrt{3}x-y+7=0$ và ∆2: mx + y + 1 = 0 một góc bằng 30°.

Hướng dẫn giải

∆1: $\sqrt{3}x-y+7=0$ và ∆2: mx + y + 1 = 0

∆1, ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\overrightarrow{n}}_1=\left(\sqrt{3};-1\right),{\overrightarrow{n}}_2=\left(m;1\right)$.

Ta có $\cos \left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\frac{\left|m\sqrt{3}+\left(-1\right).1\right|}{\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}.\sqrt{m^2+1^2}}$.

Hay $\cos \left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\frac{\left|m\sqrt{3}-1\right|}{2\sqrt{m^2+1}}$

Theo đề, ta có góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 bằng 30°.

Ta suy ra $\frac{\left|m\sqrt{3}-1\right|}{2\sqrt{m^2+1}}=\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff \sqrt{3\left(m^2+1\right)}=\left|m\sqrt{3}-1\right|$

⇔ 3m2 + 3 = 3m2 – $2\sqrt{3}m$+ 1

⇔ $2\sqrt{3}m$ = –2

$\iff m=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Vậy $m=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.