Lý thuyết Hệ thức lượng trong tam giác (Chân trời sáng tạo 2024) Toán 10

Lý thuyết Toán lớp 10 Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác

A. Lý thuyết Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác

1. Giá trị lượng giác
 

Mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác đối với góc nhọn cho những góc α bất kì với 0° ≤ α ≤ 180°, ta có định nghĩa sau đây:
 

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°) ta xác định được một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$ . Gọi ($x_0$; $y_0$) là toạ độ điểm M, ta có:
- Tung độ $y_0$ của M là sin của góc α, kí hiệu là sinα = $y_0$;
- Hoành độ $x_0$ của M là côsin của góc α, kí hiệu là cosα = $x_0$;
- Tỉ số $\frac{y_0}{x_0}$ ($x_0$ ≠ 0) là tang của góc α, kí hiệu là $\tan \alpha =\frac{y_0}{x_0};$  
- Tỉ số  $\frac{y_0}{x_0}$ ($y_0$ ≠ 0) là côtang của góc α, kí hiệu là $\tan \alpha =\frac{x_0}{y_0};$ 
Các số sinα, cosα, tanα, cotα được gọi là các giá trị lượng giác của góc α.
Ví dụ 1. Tìm các giá trị lượng giác của góc 150°.
Hướng dẫn giải
Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=150°.$ 

​Ta có:  $\widehat{MOy}=150°-90°=60°$​. 
Khi đó ta tính được toạ độ của điểm M là $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}\right).$​   
Theo định nghĩa ta có:
 $\sin 150°=\frac{1}{2};$​ $\text{cos150}°=-\frac{\sqrt{3}}{2};$​  $\tan 150°=-\frac{1}{\sqrt{3}};$​  $\cot 150°=-\sqrt{3}.$​   
Chú ý: 
a) Nếu α là góc nhọn thì các giá trị lượng giác của α đều dương.
Nếu α là góc tù thì sinα > 0, cosα < 0, tanα < 0, cotα < 0.
b) tanα chỉ xác định khi α ≠ 90°.
cotα chỉ xác định khi α ≠ 0° và α ≠ 180°.
Ví dụ 2. Với α = 30° thì sinα > 0, cosα > 0, tanα > 0 và cotα > 0.
Với α = 150° (như trong Ví dụ 1) thì sinα > 0, cosα < 0, tanα < 0 và cotα < 0.

2. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau
 

Với mọi góc α thoả mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta luôn có:
sin(180° ‒ α) = sinα;
cos(180° ‒ α) = ‒cosα;
tan(180° ‒ α) = ‒tanα (α ≠ 90°);
cot(180° ‒ α) = ‒cotα (0° < α < 180°).
Ví dụ 3. 
a) Biết $sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$​. Tính cos30°, cos150°, sin120°.
b) Biết tan45° = 1. Tính tan135°.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: $sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$​ 
Suy ra: 
 $c\text{os30}°=c\text{os}\left(90°-60°\right)=\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$​ (vì 30° và 60° là hai góc phụ nhau);
 $\text{cos150}°=cos\left(180°-30°\right)=-cos30°=-\frac{\sqrt{3}}{2}$​ (vì 150° và 30° là hai góc bù nhau);
$\sin 120°=\sin \left(180°-60°\right)=\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$​ (vì 120° và 60° là hai góc bù nhau);
b) Ta có: tan45° = 1.
Suy ra:
tan135° = tan(180° ‒ 45°) = ‒tan45° = ‒1 (vì 135° và 45° là hai góc bù nhau);

3. Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt
 

Dưới đây là bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt:

​Chú ý: Trong bảng, kí hiệu “||” để chỉ giá trị lượng giác không xác định.
Ví dụ 4. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = $a^2$​.sin90° + $b^2$​.cos90° + $c^2$​.cos180°;
b) B = 3 – ${\sin }^2$​135° + 2$co{s}^2$​120° ‒ 3${\tan }^2$​150°.
Hướng dẫn giải
a) A =$a^2$​.sin90° + $b^2$​.cos90° + $c^2$​.cos180°
A = $a^2$​. 1+ $b^2$​.0 +$c^2$​.(‒1)
A = $a^2$​ ‒ $c^2$​.
b) B = 3 – sin2 135° + 2cos2 120° ‒ 3tan2 150° $B=3-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+2.{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2-3.{\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2$​

$B=3-\frac{1}{2}+2.\frac{1}{4}-3.\frac{1}{3}$​

$B=3-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-1$​

B = 2.
Ví dụ 5. Tìm góc α (0° ≤ α ≤ 180°) trong mỗi trường hợp sau:
a) $\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$​;
b) cosα = ‒1;
c) tanα = 0;
d) $cot\alpha =-\frac{\sqrt{3}}{3}.$​  
Hướng dẫn giải
a) Ta có: $\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$​ $\Rightarrow$​α = 45° hoặc α = 135°.
b) cosα = ‒1$\Rightarrow$​α = 180°.
c) tanα = 0$\Rightarrow$​α = 0° hoặc α = 180°.
d) $cot\alpha =-\frac{\sqrt{3}}{3}$​$\Rightarrow$​α = 120°.
 

4. Sử dụng máy tính cầm tay về tính giá trị lượng giác của một góc

Có nhiều loại máy tính cầm tay có thể giúp tính nhanh chóng giá trị lượng giác của một góc.
Chẳng hạn, ta có thể thực hiện trên một loại máy tính cầm tay như sau:
Sau khi mở máy, ẩn liên tiếp các phím $\boxed{SHIFT}$​ $\boxed{MENU}$​ để màn hình hiện lên bảng lựa chọn.

Ấn phím $\boxed{2}$​ để vào chế độ cài đặt đơn vị đo góc.

Ấn tiếp phím $\boxed{ 1 }$​ để xác định đơn vị đo góc là “độ”.

Ấn các phím $\boxed{MENU}$​  $\boxed{ 1 }$​ để vào chế độ tính toán như hình ảnh dưới đây: 
 

4.1. Tính các giá trị lượng giác của góc
Ví dụ 6. Sử dụng máy tính cầm tay, tính sin125°, cos50°12', tan160°56'25'', cot100°.
Hướng dẫn giải
- Để tính sin125°, ta bấm liên tiếp các phím sau đây

$\boxed{\sin }$​$\boxed{ 1 }$​$\boxed{2}$​$\boxed{5}$​$\boxed{°\text{'} \text{'}\text{'}}$​$\boxed{)}$​$\boxed{=}$​:       

Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Vậy sin125° ≈ 0,81915204429.
- Để tính cos50°12', ta bấm liên tiếp các phím sau đây: 
$\boxed{cos}\boxed{5}\boxed{0}\boxed{°\text{'} \text{'}\text{'}}\boxed{ 1 }\boxed{2}\boxed{°\text{'} \text{'}\text{'}}\boxed{)}\boxed{=}$​      
Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Vậy cos50°12' ≈ 0,64010969948.
- Để tính tan160°56'25'', ta bấm liên tiếp các phím sau đây: 
​ Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Vậy tan160°56'25'' ≈ ‒0,345493396426.
- Để tính cot100°, ta bấm liên tiếp các phím sau đây: 
 

 Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Vậy cot100° ≈ ‒0,17632698071.
4.2. Xác định số đo của góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó
Ví dụ 7. Sử dụng máy tính cầm tay, tìm α (0° < α < 180°) biết sinα = 0,51; cosα = ‒0,7;$\tan \alpha =\sqrt{2};$​ cotα = 1,7.
Hướng dẫn giải
- Để tìm α khi biết sinα = 0,51, ta ấn liên tiếp các phím sau đây:
 

        
Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:
 

Vậy với sinα = 0,51 thì α ≈ 30°39'50''.
Ta đã được học với 0° < α < 180° thì sin(180° ‒ α) = sinα nên ngoài giá trị α ≈ 30°39'50'' thì ta còn có giá trị α ≈ 180° ‒ 30°39'50'' ≈ 149°20'10''.
Ta bấm máy tính như sau:

- Để tìm α khi biết cosα = ‒0,7, ta ấn liên tiếp các phím sau đây:

Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Vậy với cosα = ‒0,7 thì α ≈ 134°25'37''.
- Để tìm α khi biết $\tan \alpha =\sqrt{2},$​ ta ấn liên tiếp các phím sau đây:
 

Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là: 

Vậy với $\tan \alpha =\sqrt{2}$​ thì α ≈ 54°44'8''.
- Để tìm α khi biết cotα = 1,7, trước hết ta tính  , ta ấn liên tiếp các phím sau đây: 
 

​

Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Sau đó ta bấm liên tiếp các phím:

Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Vậy với cotα = 1,7 thì α ≈ 30°27'56''.

5. Định lí côsin trong tam giác

Định lí côsin: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA;

b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB;

c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC.

Từ định lí côsin, ta có hệ quả sau đây:

Hệ quả:

$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc};$​
 

$\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca};$​

$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.$​

6. Định lí sin trong tam giác

Định lí sin: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R;$​

Trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Từ định lí sin, ta có hệ quả sau đây:

Hệ quả:

a = 2R.sinA; b = 2R.sinB; c = 2R.sinC;

$\sin A=\frac{a}{2R};\sin B=\frac{b}{2R};\sin C=\frac{c}{2R}.$​

7. Các công thức tính diện tích tam giác

Cho tam giác ABC. Ta kí hiệu:

+) BC = a, CA = b, AB = c.

+) ha, hb, hc là độ dài các đường cao lần lượt ứng với các cạnh BC, CA, AB.

+) R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

+) r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

+) p là nửa chu vi tam giác.

+) S là diện tích tam giác.

Ta có các công thức tính diện tích tam giác sau:

(1) $S=\frac{1}{2}a{h}_a=\frac{1}{2}b{h}_b=\frac{1}{2}c{h}_c;$​ 

(2)$S=\frac{1}{2}ab.\sin C=\frac{1}{2}bc.\sin A=\frac{1}{2}ac.\sin B;$​ 

(3) $S=\frac{abc}{4R};$​ 

(4) S = pr;

(5) $S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$​ (Công thức Heron).

8. Giải tam giác

Giải tam giác là tìm số đo các cạnh và các góc còn lại của tam giác khi ta biết được các yếu tố đủ để xác định tam giác đó.

Để giải tam giác, ta thường sử dụng một cách hợp lí các hệ thức lượng như: định lí sin, định lí côsin và các công thức tính diện tích tam giác.

9. Áp dụng giải tam giác vào thực tế

Vận dụng giải tam giác giúp ta giải quyết rất nhiều bài toán trong thực tế, đặc biệt là trong thiết kế và xây dựng.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho góc α  (0° ≤ α ≤ 180°) với $\tan \alpha =-\sqrt{3}$​. Tính giá trị biểu thức

$M=cos\alpha +co{t}^2\alpha -\frac{1}{{\sin }^2\alpha }.$​

Hướng dẫn giải

Với $\tan \alpha =-\sqrt{3}$​ ta có α = 120°.

Suy ra: $sin\alpha =\frac{\sqrt{3}}{2};cos\alpha =-\frac{1}{2};\cot \alpha =-\frac{\sqrt{3}}{3}.$​ 

Do đó:

$M=cos\alpha +co{t}^2\alpha -\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$​

$M=-\frac{1}{2}+{\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2-\frac{1}{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}$​

$M=-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{4}{3}$​

$M=-\frac{3}{2}.$​ 

Vậy $M=-\frac{3}{2}.$​

Bài 2. Tam giác ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tính tỉ số $\frac{R}{r}.$​
Hướng dẫn giải

Giả sử AB = AC = a.

Xét tam giác ABC vuông cân tại A, theo định lí Pythagore ta có:

BC2 = AB2 + AC2 = a2 + a2 = 2a2

$\Rightarrow BC=a\sqrt{2}.$​ 

Do đó nửa chu vi tam giác ABC là

$p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{a+a+a\sqrt{2}}{2}=a.\left(\frac{2+\sqrt{2}}{2}\right)$​ 

Tam giác ABC vuông tại A nên diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{1}{2}.a.a=\frac{a^2}{2}$​

Mặt khác $S=pr=\frac{AB.AC.BC}{4R}$​ 

$\Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{a^2}{2}}{a.\left(\frac{2+\sqrt{2}}{2}\right)}=\frac{a}{2+\sqrt{2}}$​  và

$R=\frac{AB.AC.BC}{4S}=\frac{a.a.a\sqrt{2}}{4.\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$​ 

Do đó $\frac{R}{r}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a}{2+\sqrt{2}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}:\frac{a}{2+\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{2+\sqrt{2}}{a}=1+\sqrt{2}$​ 

Vậy $\frac{R}{r}=1+\sqrt{2}.$​ 

Bài 3. Nhà thầu đất Đức đã được cung cấp các kích thước sau đây qua điện thoại: Khu vườn hình tam giác ABC có $\widehat{CAB}=45°$​, AC = 8 m, BC = 6 m. Nền đất cần phải có độ cao 10 cm.

a) Giải thích tại sao nhà thầu đất Đức cần thêm thông tin từ khách hàng của mình.

b) Cần khối lượng đất tối đa là bao nhiêu (để tạo thành nền của khu đất) nếu khách hàng của anh Đức không thể cung cấp thêm thông tin cần thiết?

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng định lí sin với tam giác ABC ta có:$\frac{BC}{\sin \widehat{CAB}}=\frac{AC}{\sin \widehat{CBA}}$​ 

 $\Rightarrow \sin \widehat{CBA}=\frac{AC.\sin \widehat{CAB}}{BC}=\frac{8.\sin 45°}{6}\approx 0,943$​

$\Rightarrow \widehat{CBA}\approx 70°34\text{'}$​ hoặc $\widehat{CBA}\approx 180°-70°34\text{'}\approx 109°26\text{'}$​  (hình vẽ dưới đây)

Như vậy ta có thể có hai gá trị khác nhau của góc CBA nên hình tam giác không được xác định một cách duy nhất.

Điều đó giải thích tại sao anh Đức cần thêm thông tin về khu vườn.

b) Nền đất của khu vườn là một khối lăng trụ đứng với đáy là tam giác ABC và chiều cao không đổi là 10 cm, nên khối lượng đất tối đa để tạo ra nền của khu đất tỉ lệ với diện tích lớn nhất của tam giác ABC.

+) Nếu $\widehat{CBA}\approx 70°34\text{'}$​ thì $\widehat{ACB}\approx 180°-45°-70°34\text{'}\approx 64°26\text{'}.$​

Khi đó diện tích của tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}.CA.CB.\sin \widehat{ACB}\approx \frac{1}{2}\mathrm{.8.6.}\sin 64°26\text{'}\approx 21,65$​ (m2)

+) Nếu $\widehat{CBA}\approx 109°26\text{'}$​ thì $\widehat{ACB}\approx 180°-45°-109°26\text{'}\approx 25°34\text{'}.$​

Khi đó diện tích của tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}.CA.CB.\sin \widehat{ACB}\approx \frac{1}{2}\mathrm{.8.6.}\sin 26°34\text{'}\approx 10,36$​ (m2)

Khi đó diện tích lớn nhất của tam giác ABC là 21,65 m2.

Đổi 10 cm = 0,1 m.

Khối lượng đất tối đa cần khoảng: 21,65. 0,1 ≈ 2,165 (m3)

Vậy khối lượng đất tối đa cần để tạo thành nền của khu đất khoảng 2,165 m3.

Bài 4. Vợ chồng anh Minh đang xem xét mua một mảnh đất. Nhân viên nhà đất cung cấp cho họ một bản vẽ chi tiết như hình vẽ dưới. Tính diện tích của mảnh đất và số tỉ đồng vợ chồng anh Minh cần dùng để mua đất biết giá đất là 25 triệu đồng/ m2 đất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Hướng dẫn giải

Diện tích của mảnh đất là diện tích của hai tam giác ABD và tam giác BCD.

Ta có: $S_{ABD}=\frac{1}{2}AB.AD.\sin \widehat{BAD}=\frac{1}{2}.12,\mathrm{5.12.}\sin 75°\approx 72,44\left(m^2\right)$​

Áp dụng định lí côsin cho tam giác BAD ta có:

BD2 = AB2 + AD2 – 2.AB.AD.$cos\widehat{BAD}$​ 

Þ BD2 = 12,52 + 122 ‒ 2.12,5.12.cos75°

Þ BD ≈ 14,92 (m)

Do đó $S_{BCD}=\frac{1}{2}BD.CD.\sin \widehat{BDC}\approx \frac{1}{2}.14,\mathrm{92.9.}\sin 30°\approx 33,57\left(m^2\right)$​ 

Khi đó diện tích mảnh đất là:

S = SABD + SBCD ≈ 72,44 + 33,57 = 106,01 (m2)

Số tiền vợ chồng anh Minh cần dùng để mua mảnh đất này là:

106,01 . 25 = 2 650,25 (triệu đồng) = 2,65025 tỉ đồng ≈ 2,65 tỉ đồng.

Vậy diện tích mảnh đất khoảng 106,01 m2 và số tiền cần dùng mua đất là khoảng 2,65 tỉ đồng.

Bài 5. Tính giá trị biểu thức:

a) A = sin30°.cos45°.sin60° ‒ cos120°.tan135°.cot150°.

b) B = cos0° + cos20° + cos40° + … + cos160° + cos180°;

c) $C=sin\left(180°-x\right)-cos\left(90°-x\right)+si{n}^{2}x.\frac{1}{{\sin }^2\left(90°-x\right)}–ta{n}^{2}x.$​ 

Hướng dẫn giải

a) A = sin30°.cos45°.sin60° ‒ cos120°.tan135°.cot150°

$A=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right).\left(-1\right).\left(-\sqrt{3}\right)$​ 

$A=\frac{\sqrt{6}}{8}+\frac{\sqrt{3}}{2}$​

$A=\frac{\sqrt{6}+4\sqrt{3}}{8}$​

b) B = cos0° + cos20° + cos40° + … + cos160° + cos180°

B = (cos0° + cos180°) + (cos20° + cos160°) + … + (cos80° + cos100°)

B = (cos0° ‒ cos0°) + (cos20° ‒ cos20°) + … + (cos80° ‒ cos80°)  (hai góc bù nhau)

B = 0.

c) $C=sin\left(180°-x\right)-cos\left(90°-x\right)+si{n}^{2}x.\frac{1}{{\sin }^2\left(90°-x\right)}–ta{n}^{2}x.$​

$C=\sin x-\sin x+si{n}^{2}x.\frac{1}{{\text{cos}}^{2}x}–ta{n}^{2}x$​

C = 0 + tan2x ‒ tan2x

C = 0.

Bài 6. Tính độ dài cạnh và góc chưa biết của tam giác ABC, diện tích tam giác ABC, bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp và đường cao kẻ từ C của tam giác ABC (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai) trong hình sau:

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có $\widehat{B}=60°,\widehat{C}=80°$​ ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$​ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{A}=180°-\widehat{B}-\widehat{C}$​ 

$\Rightarrow \widehat{A}=180°-60°-80°=40°$​

Theo định lí sin ta có: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=2R$​

$\Rightarrow \frac{BC}{\sin 40°}=\frac{AC}{\sin 60°}=\frac{6}{\sin 80°}=2R$​ 

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}BC=\frac{6.\sin 40°}{\sin 80°}\approx 3,92\\ AC=\frac{6.\sin 60°}{\sin 80°}\approx 5,28\\ R=\frac{6}{2.\sin 80°}\approx 3,05\end{array}\right.$​

Nửa chu vi tam giác ABC là: $p=\frac{AB+AC+BC}{2}\approx \frac{6+5,28+3,92}{2}=7,6$​

Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC là:

$S_{ABC}=\sqrt{p\left(p-AB\right)\left(p-AC\right)\left(p-BC\right)}$​ 

$S_{ABC}\approx \sqrt{7,6.\left(7,6-6\right).\left(7,6-5,28\right).\left(7,6-3,92\right)}\approx 10,19$​ (đơn vị diện tích)

Mặt khác SABC = pr $\Rightarrow r=\frac{S_{ABC}}{p}\approx \frac{10,19}{7,6}\approx 1,34$​

Lại có $S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.h_C$​ (với hC là đường cao kẻ từ C đến AB của tam giác ABC)

$\Rightarrow h_C=\frac{2.S_{ABC}}{AB}\approx \frac{2.10,19}{6}\approx 3,4.$​ 

Vậy $\widehat{A}=40°;$​ BC ≈ 3,92; AC ≈ 5,28; R ≈ 3,05; r ≈ 1,34; hC ≈ 3,4 và S ≈ 10,19 (đơn vị diện tích).

Bài 7. Hình bình hành ABCD có AB = a, $BC=a\sqrt{2}$​ và $\widehat{BAD}=45°.$​ Tính diện tích hình bình hành.

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC (tính chất hình bình hành)

Mà $BC=a\sqrt{2}$​ nên $AD=a\sqrt{2}$​ 

Diện tích tam giác ABD là:

$S_{ABD}=\frac{1}{2}.AB.AD.\sin \widehat{BAD}=\frac{1}{2}.a.a\sqrt{2}.\sin 45°=\frac{a^2}{2}$​ (đơn vị diện tích)

Do đó diện tích hình bình hành ABCD là:

$S_{ABCD}=2S_{ABD}=2.\frac{a^2}{2}=a^2$​ (đơn vị diện tích)

Bài 8. Tam giác ABC vuông tại A có AB = AC = 30 cm. Hai đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G. Tính diện tích tam giác GEC.

Hướng dẫn giải

Vì BE là trung tuyến của tam giác ABC nên E là trung điểm của AC.

Do đó $EC=\frac{1}{2}.AC=\frac{1}{2}.30=15\left(cm\right)$​ 

Hai đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó $GE=\frac{1}{3}BE$​ (tính chất trọng tâm của tam giác)

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ G xuống AC.

Suy ra GH // AB.

Do đó $\frac{GH}{BA}=\frac{GE}{BE}$​ (định lí Ta – let trong tam giác ABE)

Hay $\frac{GH}{BA}=\frac{1}{3}\Rightarrow GH=\frac{1}{3}.30=10\left(cm\right)$​

Diện tích tam giác GEC là: $S_{GEC}=\frac{1}{2}.GH.EC=\frac{1}{2}\mathrm{.10.15}=75\left(c{m}^2\right)$​ 

Vậy diện tích tam giác GEC là 75 cm2.

Bài 9. Giải tam giác ABC biết AC = 16, $\widehat{A}=60°$​ và $\widehat{B}=50°.$​ 

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có $\widehat{A}=60°,\widehat{B}=50°$​ ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$​ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{C}=180°-\widehat{A}-\widehat{B}$​ 

$\Rightarrow \widehat{C}=180°-60°-50°=70°$​

Theo định lí sin ta có: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$​

$\Rightarrow \frac{BC}{\sin 60°}=\frac{16}{\sin 50°}=\frac{AB}{\sin 70°}$​ 

 $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}BC=\frac{16.\sin 60°}{\sin 50°}\approx 18,1\\ AB=\frac{16.\sin 70°}{\sin 50°}\approx 19,6\end{array}\right.$​ 

Vậy $\widehat{C}=70°,BC\approx 18,1$​ và AB ≈ 19,6.

Bài 10. Trên nóc một toà nhà có một cột cờ cao 2 m. Từ vị trí quan sát A cao 5 m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột cờ dưới góc 45° và 40° so với phương nằm ngang (hình vẽ). Tìm chiều cao của toà nhà.

Hướng dẫn giải

Từ hình vẽ ta có $\widehat{BAC}=45°-40°=5°$​ và $\widehat{ABD}=180°-\left(\widehat{BAD}+\widehat{ADB}\right)$​ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Do đó $\widehat{ABD}=45°$​.

Suy ra: $\widehat{ABC}=\widehat{ABD}=45°.$​

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC có: $\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}$​ 

Suy ra $AC=\frac{BC.\sin \widehat{ABC}}{\sin \widehat{BAC}}=\frac{2.\sin 45°}{\sin 5°}\approx 16,2\left(m\right)$​

Trong tam giác vuông ADC có $CD=AC.\sin \widehat{CAD}\approx 16,2.\sin 40°\approx 10,4\left(m\right)$​.

Do đó CH = CD + DH ≈ 10,4 + 5 ≈ 15,4 (m).

Vậy chiều cao của toà nhà là khoảng 15,4 m.

Bài 11. Tam giác ABC có AB = 3, BC = 8, M là trung điểm của BC, $cos\widehat{AMB}=\frac{5\sqrt{13}}{26}$​và AM > 3. Tính AM và giải tam giác ABC biết tam giác ABC là tam giác tù.

Hướng dẫn giải

Vì M là trung điểm của BC nên $BM=MC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.8=4$​.

Xét tam giác ABM, áp dụng hệ quả định lí côsin ta có:

$\text{cos}\widehat{AMB}=\frac{A{M}^2+B{M}^2-A{B}^2}{2.AM.BM}$​ 

$\Rightarrow \frac{5\sqrt{13}}{26}=\frac{A{M}^2+4^2-3^2}{2.AM.4}$​ 

$\iff A{M}^2+7=\frac{40\sqrt{13}}{26}AM$​ 

$\iff A{M}^2-\frac{20\sqrt{13}}{13}AM+7=0$​ 

$\iff \left[\begin{array}{l}AM=\sqrt{13}>3\left(tm:AM>3\right)\\ AM=\frac{7\sqrt{13}}{13}<3\left(ktm:AM>3\right)\end{array}\right.$​ 

Do đó $AM=\sqrt{13}$​.

Vì $\widehat{AMB}$​ và $\widehat{AMC}$​ là hai góc kề bù nên $\widehat{AMB}$​ + $\widehat{AMC}$​ = 180°.

Suy ra $cos\widehat{AMC}=-cos\widehat{AMB}=-\frac{5\sqrt{13}}{26}.$​ 

Xét tam giác AMC, áp dụng định lí côsin ta có:

$A{C}^2=A{M}^2+C{M}^2-2.AM.CM.cos\widehat{AMC}$​ 

$\Rightarrow A{C}^2={\left(\sqrt{13}\right)}^2+4^2-2.\sqrt{13}\mathrm{.4.}\left(-\frac{5\sqrt{13}}{26}\right)$​

Þ AC2 = 49

Þ AC = 7.

Xét tam giác ABM có AB = 3, BM = 4, $AM=\sqrt{13}$​ áp dụng định lí côsin ta có:

$\cos \widehat{ABM}=\frac{A{B}^2+B{M}^2-A{M}^2}{2.AB.BM}$​ 

$\Rightarrow \cos \widehat{ABM}=\frac{3^2+4^2-{\left(\sqrt{13}\right)}^2}{\mathrm{2.3.4}}=\frac{1}{2}$​ $\Rightarrow \widehat{ABM}=60°$​$\Rightarrow \widehat{ABC}=60°$​.

Xét tam giác ABC, áp dụng định lí sin ta có: $\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}$​ 

$\Rightarrow \frac{8}{\sin \widehat{BAC}}=\frac{7}{\sin 60°}$​ 

$\Rightarrow \sin \widehat{BAC}=\frac{8.\sin 60°}{7}=\frac{4\sqrt{3}}{7}$​

$\Rightarrow \widehat{BAC}\approx 82°$​ hoặc $\widehat{BAC}\approx 98°$​

Mà tam giác ABC là tam giác tù nên $\widehat{BAC}\approx 98°$​.

Xét tam giác ABC ta có:

$\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$​ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{ACB}=180°-\widehat{BAC}-\widehat{ABC}$​ 

$\Rightarrow \widehat{ACB}\approx 180°-98°-60°=22°$​.

Vậy $AM=\sqrt{13},AC=7,\widehat{ABC}=60°,\widehat{BAC}\approx 98°$​ và $\widehat{ACB}\approx 22°.$​