Lý thuyết Nhị thức Newton (Chân trời sáng tạo 2024) Toán 10

Lý thuyết Toán lớp 10 Bài 3: Nhị thức Newton

A. Lý thuyết Nhị thức Newton

Hai công thức khai triển:

• ${\left(a+b\right)}^4=C_4^0{a}^4+C_4^1{a}^{3}b+C_4^2{a}^2{b}^2+C_4^{3}a{b}^3+C_4^4{b}^4$

$=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4;$

•  ${\left(a+b\right)}^5=C_5^0{a}^5+C_5^1{a}^{4}b+C_5^2{a}^3{b}^2+C_5^3{a}^2{b}^3+C_5^{4}a{b}^4+C_5^5{b}^5$

$=a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5.$

Hai công thức trên gọi là công thức nhị thức Newton (gọi tắt là nhị thức Newton) ${\left(a+b\right)}^n$  ứng với n = 4 và n = 5.

Chú ý:

– Các hệ số trong khai triển nhị thức Newton (a + b)n với n = 0; 1; 2; 3; … được viết thành từng hàng và xếp thành bảng số như dưới đây.

Bảng số này có quy luật: số đầu tiên và số cuối cùng của mỗi hàng đều là 1; tổng của 2 số liên tiếp cùng hàng bằng số của hàng kế dưới ở vị trí giữa hai số đó (được chỉ bởi mũi tên trên bảng).

Bảng số trên dược gọi là tam giác Pascal (đặt theo tên của nhà toán học, vật lí học, triết học người Pháp Blaise Pascal, 1623 – 1662).

Ví dụ: Sử dụng công thức nhị thức Newton khai triển biểu thức (a + 2)4.

Hướng dẫn giải

Theo công thức nhị thức Newton ta có:

(a + 2)4 = 1.a4 + 4a3.2 + 6a2.22 + 4a.23 + 24

= a4 + 8a3 + 24a2 + 32a + 16.

Ví dụ: Khai triển và rút gọn biểu thức: ${\left(1+\sqrt{5}\right)}^5+{\left(1-\sqrt{5}\right)}^5.$

Hướng dẫn giải

Theo công thức nhị thức Newton ta có:

•${\left(1+\sqrt{5}\right)}^5=1+5\sqrt{5}+10.{\left(\sqrt{5}\right)}^2+10.{\left(\sqrt{5}\right)}^3+5.{\left(\sqrt{5}\right)}^4+1.{\left(\sqrt{5}\right)}^5$

$=1+5\sqrt{5}+50+50\sqrt{5}+125+25\sqrt{5}$

$=176+80\sqrt{5}.$

•${\left(1+\sqrt{5}\right)}^5=1+5\left(-\sqrt{5}\right)+10.{\left(-\sqrt{5}\right)}^2+10.{\left(-\sqrt{5}\right)}^3+5.{\left(-\sqrt{5}\right)}^4+1.{\left(-\sqrt{5}\right)}^5$

$=1-5\sqrt{5}+50-50\sqrt{5}+125-25\sqrt{5}$

$=176-80\sqrt{5}.$

Do đó ta có: ${\left(1+\sqrt{5}\right)}^5+{\left(1-\sqrt{5}\right)}^5=176+80\sqrt{5}+176-80\sqrt{5}=352.$

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm hệ số của x4 trong khai triển (2x – 3)5.

Hướng dẫn giải

Theo công thức nhị thức Newton ta có:

(2x + 3)5 = (2x)5 + 5(2x)4.(–3) + 10.(2x)3.(–3)2 + 10.(2x)2.(–3)3 + 5.2x.(–3)4 + (–3)5

= 32x5 – 240x4 + 720x3 – 1080x2 + 810x – 243

Vậy hệ số của x4 trong khai triển là –240.

Bài 2. Sử dụng công thức nhị thức Newton khai triển biểu thức:

a) (2x + y)4;

b) ${\left(x-\sqrt{5}\right)}^5.$

Hướng dẫn giải

Theo công thức nhị thức Newton ta có:

a) (2x + y)4 = (2x)4 + 4.(2x)3.y + 6.(2x)2.y2 + 4(2x).y3 + y4

= 16x4 + 32x3y + 24x2y2 + 8xy3 + y4.

b) ${\left(x-\sqrt{5}\right)}^5=x^5+5x^4.\left(-\sqrt{5}\right)+10x^3.{\left(-\sqrt{5}\right)}^2+10x^2.{\left(-\sqrt{5}\right)}^3+5x{\left(-\sqrt{5}\right)}^4+{\left(-\sqrt{5}\right)}^5$

$=x^5-5\sqrt{5}{x}^4+50x^3-50\sqrt{5}{x}^2+125x-25\sqrt{5}$

Bài 3. Sử dụng công thức nhị thức Newton chứng tỏ rằng:

$C_5^0+2.C_5^1+2^2.C_5^2+2^3.C_5^3+2^4.C_5^4+2^5.C_5^5=243$

Hướng dẫn giải

Giả sử ta có khai triển (a + b)n với n = 0; 1; 2; …

Ta thấy trong biểu thức chứng minh có tổ hợp chập k của 5, nên n = 5.

Ở đây có xuất hiện lũy thừa của số 2 từ mũ 1 đến mũ 5 nên b = 2.

Ta có khai triển:

${\left(x+2\right)}^5=C_5^0.x^5+C_5^1.x^4.2+C_5^2.x^3{.2}^2+C_5^3.x^2{.2}^3+C_5^4.x{.2}^4+C_5^5{.2}^5$

Khi x = 1 thì ta có:

${\left(1+2\right)}^5=C_5^0{.1}^5+C_5^1{.1}^4.2+C_5^2{.1}^3{.2}^2+C_5^3{.1}^2{.2}^3+C_5^4{\mathrm{.1.2}}^4+C_5^5{.2}^5$

$\iff 3^5=C_5^0+2.C_5^1+2^2.C_5^2+2^3.C_5^3+2^4.C_5^4+2^5.C_5^5$

$\iff 243=C_5^0+2.C_5^1+2^2.C_5^2+2^3.C_5^3+2^4.C_5^4+2^5.C_5^5$

Vậy $C_5^0+2.C_5^1+2^2.C_5^2+2^3.C_5^3+2^4.C_5^4+2^5.C_5^5=243.$

Bài 4. Khai triển và rút gọn biểu thức: (x + 2)4 + (2 – x)4.

Từ đó tính giá trị biểu thức: 2,054 + 1,954.

Hướng dẫn giải

Theo công thức nhị thức Newton ta có:

• (x + 2)4 = x4 + 4x3.2 + 6x2.22 + 4x.23 + 24

 = x4 + 8x3 + 24x2 + 32x + 16.

• (2 – x)4 = 24 + 4.23.(–x) + 6.22.(–x)2 + 4.2.(–x)3 + (–x)4

 = x4 – 8x3 + 24x2 – 32x + 16.

Do đó ta có:

(x + 2)4 + (2 – x)4 = 2x4 + 48x2 + 32.

Với x = 0,05 ta có:

(0,05 + 2)4 + (2 – 0,05)4

= 2.(0,05)4 + 48.(0,05)2 + 32

= 32,1200125.

Vậy 2,054 + 1,954 = 32,1200125.