Lý thuyết Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ (Cánh diều 2024) Toán 10

Lý thuyết Toán lớp 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

A. Lý thuyết

I. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ

Nếu $\overrightarrow{u}$ = (x1 ; y1) và $\overrightarrow{v}$ = (x2 ; y2) thì

$\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$ = ( x1 + x2 ; y1 + y2);

$\overrightarrow{u}$ – $\overrightarrow{v}$ = ( x1 – x2 ; y1 – y2);

k$\overrightarrow{u}$ = (kx1; ky1) với k ∈ ℝ.

Ví dụ: Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (– 5 ; 1) và $\overrightarrow{v}$ = (2 ; –3). Tìm tọa độ của mỗi vectơ sau:

a) $\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$;

b) $\overrightarrow{u}$ – $\overrightarrow{v}$;

c) –2$\overrightarrow{v}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$ = (–5 + 2 ; 1 + (–3)) = (–3 ; –2).

Vậy $\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$ = (–3 ; –2).

b) Ta có $\overrightarrow{u}$ – $\overrightarrow{v}$ = (–5 – 2 ; 1 – (–3)) = (–7 ; 4).

Vậy $\overrightarrow{u}$ – $\overrightarrow{v}$ = (–7 ; 4).

c) Ta có –2$\overrightarrow{v}$= (–2.2 ; –2.(–3)) = (–4 ; 6).

Vậy –2$\overrightarrow{v}$= (–4 ; 6).

Nhận xét: Hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (x1 ; y1), $\overrightarrow{v}$ = (x2 ; y2) ($\overrightarrow{u}$ ≠ $\overrightarrow{v}$) cùng phương khi và chỉ khi có một số thực k sao cho x1 = kx2 và y1 = ky2.

Ví dụ: Hai vectơ $\overrightarrow{u}$= (–1 ; 2) và $\overrightarrow{v}$ = (4 ; –8) có cùng phương hay không?

Hướng dẫn giải

Ta thấy 4 = –4.(–1) và –8 = –4.2

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (–1 ; 2) và $\overrightarrow{v}$ = (4 ; –8) cùng phương với nhau.

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (–1 ; 2) và $\overrightarrow{v}$ = (4 ; –8) cùng phương.

II. Tọa độ trung điểm đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm tam giác

– Cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB). Nếu M(xM; yM) là trung điểm của đoạn thẳng AB thì

$x_M=\frac{x_A+x_B}{2}$ ; $y_M=\frac{y_A+y_B}{2}$.

– Cho tam giác ABC có A(xA ; yA), B(xB ; yB), C(xC ; yC). Nếu G(xG ; yG) là trọng tâm của tam giác ABC thì

$x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}$; $y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}$.

III. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Nếu $\overrightarrow{u}$ = (x1; y1) và $\overrightarrow{u}$ = (x2; y2) thì $\overrightarrow{u}$.$\overrightarrow{v}$= x1x2 + y1y2.

Nhận xét:

a) Nếu $\overrightarrow{a}$ = (x; y) thì $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}}=\sqrt{x^2+y^2}$.

b) Nếu A(x1; y1) và B(x2; y2) thì AB = $\left|\overrightarrow{AB}\right|$ = $\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$.

c) Với hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (x1; y1) và $\overrightarrow{v}$ = (x2; y2) đều khác $\overrightarrow{0}$, ta có:

+  $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi x1x2 + y1y2 = 0.

+ cos($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$) = $\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|}$ = $\frac{x_1.x_2+y_1{y}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}.\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$.

Ví dụ: Cho hai vectơ  = (3 ; –5) và  = (5 ; 3).

a) Tính ;

b) Tính .;

c) Tính góc giữa hai vectơ  và 

Hướng dẫn giải

a) Ta có  =   = .

Vậy  = .

b) Ta có .= 3.5 + (–5).3 = 0.

Vậy . = 0.

c) Ta có cos(, ) =  =  =  = 0.

Suy ra (, ) = 90°.

Vậy  và  vuông góc với nhau.

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập tự luận

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(0; 4), B(–1; 3), C(–5; 2). Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Để chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng ta chứng minh  và  không cùng phương.

Ta có  = (–1 – 0 ; 3 – 4) = (–1 ; –1)

= (–5 – 0 ; 2 – 4) = (–5 ; –2)

Ta thấy  nên  và  không cùng phương

Suy ra ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Bài 2.  = (2 ; –2) và  = (3 ; 5)

a) Tìm tọa độ của vectơ  =  + .

b) Tìm tọa độ của vectơ  = –3  – .

Hướng dẫn giải

a) Ta có  =  + = (2 + 3; –2 + 5) = (5 ; 3).

Vậy  =  + = (5; 3).

b) Ta có  = –3  –  = (–3.2 – 3; –3.(–2) – 5) = (–9; 1).

Vậy  = –3  – = (–9; 1).

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; –3), C(0; 4).

a) Tính . 

b) Giải tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

a) Ta có  = (–2 – 1 ; –3 – 2) = (–3 ; –5)

 = (0 – 1 ; 4 – 2) = (–1 ; 2)

Khi đó . = –3.(–1) + (–5). 2 = –7.

Vậy . = –7.

b) Ta có  = (–3; –5) ⇒ AB =  =  = .

 = (–1; 2) ⇒ AC =  =  = .

 = (0 – (–2) ; 4 – (–3)) = (2; 7) ⇒ BC =  =  = .

cos(.) = = = 

Suy ra (.) ≈  122°28’

⇒  ≈ 122°28’.

Ta có  = (1 – (–2) ; 2 – (–3)) = (3; 5).

cos(, ) = =  = 

Suy ra (, ) ≈ 15°1’

⇒  ≈ 15°1’.

Mặt khác  = 180° – (+) = 42°31’.

Vậy tam giác ABC có AB = ; AC = ; BC = ;  ≈ 122°28’;  ≈ 15°1’;  = 42°31’.

B.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho = (– 1; 2),  =  (5; – 7).  Tìm tọa độ của vectơ .

A. (4; – 5);          

B. (3; – 3);          

C. (6; 9) ;

D. (– 5; – 14).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là : B

Ta có: 2= 2(–1; 2) = (–2; 4)

2 = (– 2 + 5); 4 – 7) = (3; – 3).

Câu 2. Trong hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A (2; –3), I(4; 7). Biết I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tìm tọa độ điểm B.

A. I (6; 4);          

B. I (2; 10);         

C. I (6; 17);         

D. I (8; – 21).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là : C

Gọi điểm B có tọa độ (xB ; yB)

Vì I là trung điểm của AB nên ta có :

  ⇒ B(6; 17).