Lý thuyết Khái niệm vectơ (Cánh diều 2024) Toán 10

Lý thuyết Toán lớp 10 Bài 3: Khái niệm vectơ

A. Lý thuyết Khái niệm vectơ

1. Khái niệm vectơ

Cho đoạn thẳng AB. Nếu ta chọn điểm A làm điểu đầu, điểm B là điểm cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B. Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng có hướng.

Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ và đọc là “vectơ AB”. Để vẽ được vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở đầu nút B.

Đối với vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, ta gọi:

– Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B là giá của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$.

– Độ dài đoạn thẳng AB là độ dài của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, kí hiệu là $\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$.

Vectơ còn được kí hiệu là $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$, $\overrightarrow{\mathrm{x}}$, $\overrightarrow{\mathrm{y}}$ khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ được kí hiệu là $\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|.$ 

Ví dụ: Vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ có độ dài là 5, ta có thể viết như sau: $\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$ = 5.

2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng

Định nghĩa:

– Hai vectơ cùng phương: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Ví dụ:

Trên hình vẽ các vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$, $\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{EF}}$ cùng phương với nhau.

Nhận xét: Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

Ví dụ:

Hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$cùng phương và có cùng hướng đi từ trái sang phải. Ta nói hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ cùng hướng. Hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ và $\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{EF}}$cùng phương nhưng ngược hướng nhau. Ta nói hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ và $\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{EF}}$ là hai vectơ ngược hướng.

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Liệt kê các cặp vectơ cùng hướng và ngược hướng trong hình bình hành ABCD. 

Hướng dẫn giải:

Do ABCD là hình bình hành nên ta có: AB // DC và AD // BC.

Các cặp vectơ cùng hướng: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$và $\overrightarrow{\mathrm{DC}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$và $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$, $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$và $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$, $\overrightarrow{\mathrm{DA}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{CB}}$.

Các cặp vectơ ngược hướng: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$và $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$và $\overrightarrow{\mathrm{CB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$và $\overrightarrow{\mathrm{DC}}$, $\overrightarrow{\mathrm{DA}}$và $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$.

3. Hai vectơ bằng nhau

Hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài, kí hiệu: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}.$ 

Nhận xét:

– Hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{b}}$.

– Khi cho trước vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{a}}.$ 

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD, khi đó:

Do ABCD là hình bình hành nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{AB}//\mathrm{DC}\mathrm{và}\mathrm{AD}//\mathrm{BC}\\ \mathrm{AB}=\mathrm{CD}\mathrm{và}\mathrm{AD}=\mathrm{BC}\end{array}\right.$

Ta lại có: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$và $\overrightarrow{\mathrm{DC}}$ ; $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ là hai cặp vectơ cùng hướng nên $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{DC}}\\ \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}\end{array}\right.$.

4. Vectơ–không

Ta biết rằng mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối và hoàn toàn được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó.

Bây giờ với một điểm A bất kì ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm đầu và điểm cuối đều là A. Vectơ này được kí hiệu là $\overrightarrow{\mathrm{AA}}$ và được gọi là vectơ – không.

Định nghĩa: Vectơ–không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu là $\overrightarrow{0}.$

Ta quy ước $\overrightarrow{0}.$ cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ và $\left|\overrightarrow{0}\right|$ = 0.

Nhận xét: Hai điểm A, B trùng nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$= $\overrightarrow{0}$.

Ví dụ: Vectơ $\overrightarrow{\mathrm{BB}}$ là vectơ – không và $\left|\overrightarrow{\mathrm{BB}}\right|=0.$  

5. Biểu thị một số đại lượng có hướng bằng vectơ

Trong vật lý, một số đại lượng như trọng lực, vận tốc,… là đại lượng có hướng. Người ta dùng vectơ để biểu thị các đại lượng đó.

Ví dụ: Chọn trục tọa độ là trục Oy có chiều hướng lên trên, biểu điễn vectơ lực $\overrightarrow{\mathrm{F}}$ có điểm đặt tại gốc O trong hai trường hợp sau:

a) $\overrightarrow{\mathrm{F}}$ có phương thẳng đứng chiều hướng xuống

b) $\overrightarrow{\mathrm{F}}$ có phương thẳng đứng hướng lên trên

Ta thấy vectơ lực $\overrightarrow{\mathrm{F}}$ ở hai trường hợp cùng phương nhưng ngược hướng với nhau.

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập tự luận

Bài 1. Trên hình vẽ sau cho các đoạn thẳng AB = 9, CD = 7, MN = 9, PQ = 7, HK = 7. Các vectơ nào bằng nhau?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

– Vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$và $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$có giá song song và cùng chiều nên hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$và $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$cùng hướng, đồng thời AB = MN = 9 nên $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$= $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$.

– Vectơ $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{HK}}$ có giá song song và cùng chiều nên hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{HK}}$ cùng hướng, mà HK = CD = 7 nên $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{HK}}$.

Bài 2. Cho hình vẽ sau. Hãy liệt kê các cặp vectơ cùng hướng và các cặp vectơ ngược hướng. 

Hướng dẫn giải:

Ta có:

– Giá của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{x}}$ song song với nhau, đồng thời hai vectơ cùng chiều nên $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{x}}$ là hai vectơ cùng hướng.

– Giá của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{c}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{z}}$ song song với nhau, đồng thời hai vectơ cùng chiều từ trái sang phải nên $\overrightarrow{\mathrm{c}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{z}}$ là hai vectơ cùng hướng.

– Vectơ $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{y}}$ song song với nhau nhưng ngược chiều nhau nên $\overrightarrow{\mathrm{b}}$và $\overrightarrow{\mathrm{y}}$ là hai vectơ ngược hướng.

Bài 3. Cho điểm A và vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Xác định điểm M sao cho vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.

Hướng dẫn giải:

Gọi giá của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ là đường thẳng Δ.

TH1: Điểm A thuộc đường thẳng Δ.

Lấy điểm M bất kỳ thuộc đường thẳng Δ.

Khi đó đường thẳng AM nằm trên đường thẳng Δ.

Suy ra vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.

Vậy M thuộc đường thẳng Δ với Δ đi qua điểm A và Δ là giá của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.

TH2: Điểm A không thuộc đường thẳng Δ.

+ Qua A, dựng đường thẳng m song song với đường thẳng Δ.

+ Lấy điểm M bất kỳ thuộc đường thẳng m, khi đó AM // Δ.

Suy ra vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.

Vậy điểm M thuộc đường thẳng m đi qua A và m // Δ thì vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.

B.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\overrightarrow{\mathrm{AA}}=\overrightarrow{0};$                                     

B. $\overrightarrow{0}$ cùng hướng với mọi vectơ.

C. $\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|>0;$                                    

D. $\overrightarrow{0}$ cùng phương với mọi vectơ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì có thể xảy ra trường hợp $\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=0\iff \mathrm{A}\equiv \mathrm{B}.$ 

Câu 2. Vectơ có điểm đầu là D, điểm cuối là E được kí hiệu là

A. DE;

B. $\left|\overrightarrow{\mathrm{DE}}\right|;$

C. $\overrightarrow{\mathrm{ED}};$

D. $\overrightarrow{\mathrm{DE}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Theo định nghĩa vectơ: Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ và đọc là 'vectơ AB'. Để vẽ vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở đầu mút B.

Do đó, với điểm đầu là D và điểm cuối là E ta có vectơ $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$

Câu 3. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC. Hỏi cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?

A. $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{CB}}$;

B. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{MB}}$;  

C. $\overrightarrow{\mathrm{MA}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{MB}}$; 

D. $\overrightarrow{\mathrm{AN}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{CA}}$.  

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

+ Vì M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC, do đó MN // BC.

Khi đó ta có hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{CB}}$ cùng phương.

Lại có vectơ $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ có hướng đi từ trái qua phải, còn vectơ $\overrightarrow{\mathrm{CB}}$ có hướng đi từ phải qua trái. Do đó hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{CB}}$ ngược hướng.

+ Do M thuộc AB hay A, M, B thẳng hàng, khi đó hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ cùng phương, lại có hai vectơ này cùng chiều nên chúng cùng hướng. Tương tự hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{MA}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ cùng phương nhưng ngược chiều nên chúng ngược hướng.

+ Do A, N, C cùng nằm trên một đường thẳng nên hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AN}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{CA}}$ cùng phương, tuy nhiên hai vectơ này ngược chiều nên chúng ngược hướng.