Lý thuyết Nhị thức Newton (Cánh diều 2024) Toán 10

Lý thuyết Toán lớp 10 Bài 4: Nhị thức Newton

A. Lý thuyết

Công thức nhị thức Newton (a + b)n ứng với n = 4 ; n = 5 :

• (a + b)4 = $C_4^0$a4 + $C_4^1$a3b + $C_4^2$a2b2 + $C_4^3$ab3 + $C_4^4$b4

     = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.

• (a + b)5 = $C_5^0$a5 + $C_5^1$a4b + $C_5^2$a3b2 + $C_5^3$a2b3 + $C_5^4$ab4 + $C_5^5$b5

 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5.

Ví dụ:

a) Khai triển (2 + x)4 ;

b) Khai triển (x – 3)5.

Hướng dẫn giải

a) Ta có :

(2 + x)4 = $C_4^0$24 + $C_4^1$23.x + $C_4^2$22x2 + $C_4^3$2.x3 + $C_4^4$x4

= 24 + 4.23x + 6.22.x2 + 4.2.x3 + x4

= 16 + 32x + 24x2 + 8x3 + x4.

Vậy (2 + x)4 = 16 + 32x + 24x2 + 8x3 + x4.

b) Ta có : 

(x – 3)5 = $C_5^0$x5 + $C_5^1$x4.(–3) + $C_5^2$x3.(–3)2 + $C_5^3$x2.(–3)3 + $C_5^4$x.(–3)4 + $C_5^5$(–3)5

= x5 + 5x4.(–3) + 10x3.(–3)2 + 10x2.(–3)3 + 5x.(–3)4 + (–3)5

= x5 – 15x4 + 90x3 – 270x2 + 405x – 243.

Vậy (x – 3)5 = x5 – 15x4 + 90x3 – 270x2 + 405x – 243.

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập tự luận

Bài 1. Xác định hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức (3x – 2)4.

Hướng dẫn giải

Áp dụng hệ thức Newton ta có :

(3x – 2)4 = $C_4^0$(3x)4 + $C_4^1$(3x)3.(–2) + $C_4^2$(3x)2.(–2)2 + $C_4^3$(3x).(–2)3 + $C_4^4$(–2)4

= (3x)4 + 4(3x)3(–2) + 6(3x)2(–2)2 + 4(3x)(–2)3 + (–2)4

= 34x4 + 4.33x3.(–2) + 6.32.x2.(–2)2 + 4.3x.(–2)3 + (–2)4

⇒ Hệ số của x3 là 4.33.(–2) =  – 216.

Vậy hệ số của x3 trong khai triển (3x – 2)4  là  – 216.

Bài 2. Cho tập hợp E có 4 phần tử. Tính số tập con của E.

Hướng dẫn giải

Số tập hợp con của E có 0 phần tử là: $C_4^0$;

Số tập hợp con của E có 1 phần tử là: $C_4^1$;

Số tập hợp con của E có 2 phần tử là: $C_4^2$;

Số tập hợp con của E có 2 phần tử là: $C_4^3$;

Số tập hợp con của E có 6 phần tử là: $C_4^4$.

Khi đó số tập hợp con của E là : $C_4^0$ + $C_4^1$ + $C_4^2$ + $C_4^3$ + $C_4^4$.

Mặt khác, ta có:  (1 + 1)4 =  $C_4^0$ + $C_4^1$ + $C_4^2$ + $C_4^3$ + $C_4^4$

⇒ = 24 = 16.

Vậy tập hợp E có 16 tập con.

Bài 3. Khai triển các đa thức sau :

a) (2x – 3)4 ;

b) (x + 5)5 + (x – 5)5.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: (2x – 3)4 

= (2x)4 + 4(2x)3.(–3) + 6(2x)2.(–3)2 + 4.2x.(–3)3 + (–3)4.

= 16x4 – 96x3 + 216x2 – 216x + 81.

Vậy: (2x – 3)4 = 16x4 – 96x3 + 216x2 – 216x + 81.

b) Ta có:

(x + 5)5 + (x – 5)5

= [x5 + 5x4.5 + 10.x3.52 + 10.x2.53 + 5.x.54 + 55] + [x5 + 5x4.(–5) + 10.x3.(–5)2 + 10.x2.(–5)3 + 5.x.(–5)4 + (–5)5]

= [x5 + 25x4 + 250x3 + 1250x2 + 3125x + 3125] + [x5 – 25x4 + 250x3 – 1250x2 + 3125x – 3125]

= x5 + 25x4 + 250x3 + 1250x2 + 3125x + 3125 + x5 – 25x4 + 250x3 – 1250x2 + 3125x – 3125

= 2x5 + 500x3 + 6250x.

Vậy (x + 5)5 + (x – 5)5 = 2x5 + 500x3 + 6250x.

B.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Tổng hệ số của x3 và x2 trong khai triển (1 + 2x)4 là :

A. 24;

B. 44;

C. 20;

D. 54.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 5a2b2 + 4ab3 + b4.

Do đó (1 + 2x)4 = 14 + 4.13.(2x) + 5.12.(2x)2 + 4.1.(2x)3 + (2x)4

= 1 + 8x + 20x2 + 24x3 + 16x4

Suy ra hệ số của x3 là 24 và hệ số của x2 là 20.

Khi đó ta có tổng hai hệ số bằng 24  + 20 = 44.

Câu 2. Hệ số của x2 trong khai triển (2 – 3x)3 là k. Nhận xét nào sau đây đúng về k ? 

A. k là một số tự nhiên;

B. k là một số nguyên âm;

C. k là một số nguyên dương;

D. k = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: (2x – 3)3

= (2x)3 + 2.(2x)2.(– 3) + 2.(2x).(– 3)2 + (– 3)3

= 8x3 – 24x2 + 36x – 27.

Hệ số của x2 là k = – 24.

Vậy k là một số nguyên âm.

Câu 3. Tính giá trị biểu thức $T=C_4^0+\frac{1}{2}{C}_4^1+\frac{1}{4}{C}_4^2+\frac{1}{8}{C}_4^3+\frac{1}{16}{C}_4^4$.

A. $\frac{3}{2}$;

B. $\frac{9}{16}$;

C. $\frac{81}{16}$;

D. $\frac{27}{16}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$T=C_4^0+\frac{1}{2}{C}_4^1+\frac{1}{4}{C}_4^2+\frac{1}{8}{C}_4^3+\frac{1}{16}{C}_4^4$

$=C_4^0{.1}^4.{\left(\frac{1}{2}\right)}^0+C_4^1{.1}^3.{\left(\frac{1}{2}\right)}^1+C_4^2{.1}^2.{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+C_4^3\mathrm{.1.}{\left(\frac{1}{2}\right)}^3+C_4^4.{\left(\frac{1}{2}\right)}^4$

$={\left(1+\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{81}{16}$