Lý thuyết Tọa độ của vectơ (Cánh diều 2024) Toán 10

Lý thuyết Toán lớp 10 Bài 1: Tọa độ của vectơ

A. Lý thuyết

I. Tọa độ của một điểm

Để xác định tọa độ của một điểm M tùy ý trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta làm như sau (Hình 3):

+ Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm H ứng với số a. Số a là hoành độ của điểm M.

+ Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm K ứng với số b. Số b là tung độ của điểm M.

Cặp số (a; b) là tọa độ của điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta kí hiệu là M(a ; b).

Ví dụ: Xác định tọa độ của điểm B trong hình vẽ sau:

Hướng dẫn giải

+ Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm ứng với số –3. Số –3 là hoành độ của điểm B.

+ Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm ứng với số 3. Số 3 là tung độ của điểm M.

Khi đó, cặp số (–3; 3) là tọa độ của điểm B.

Vậy điểm B có tọa độ là B(–3; 3).

II. Tọa độ của một vectơ

Tọa độ của điểm M được gọi là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$.

Nếu $\overrightarrow{OM}$ có tọa độ (a; b) thì ta viết $\overrightarrow{OM}$ = (a; b) hay $\overrightarrow{OM}$ (a; b), trong đó a gọi là hoành độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$ và b gọi là tung độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$ (Hình 4).

Chú ý: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có:

+ $\overrightarrow{OM}$ = (a; b) ⇔ M(a ; b).

+ Vectơ $\overrightarrow{i}$ có điểm gốc là O và có tọa độ (1; 0) gọi là vectơ đơn vị trên trục Ox.

Vectơ $\overrightarrow{j}$ có điểm gốc là O và có tọa độ (0; 1) gọi là vectơ đơn vị trên trục Oy (Hình 4).

Ví dụ: Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$, $\overrightarrow{ON}$ trong hình sau:

Hướng dẫn giải

Ta thấy điểm M có tọa độ là (–2 ; 4)

Suy ra $\overrightarrow{OM}$ = (–2 ; 4).

Điểm N có tọa độ là (2 ; –1)

Suy ra $\overrightarrow{ON}$ = (2 ; –1).

Vậy $\overrightarrow{OM}$ = (–2 ; 4) và $\overrightarrow{ON}$ = (2 ; –1).

Nhận xét:

– Với mỗi vectơ $\overrightarrow{u}$, ta xác định được duy nhất một điểm A sao cho $\overrightarrow{OA}$ = $\overrightarrow{u}$.

– Với mỗi vectơ $\overrightarrow{u}$ trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ là tọa độ của điểm A, trong đó A là điểm sao cho $\overrightarrow{OA}$ = $\overrightarrow{u}$.

– Nếu $\overrightarrow{u}$ có tọa độ (a; b) thì ta viết $\overrightarrow{u}$ = (a; b) hay $\overrightarrow{u}$(a; b), trong đó a gọi là hoành độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ và b gọi là tung độ của vectơ $\overrightarrow{u}$.

Ví dụ: Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ trong hình vẽ sau:

Hướng dẫn giải

Ta xác định vectơ $\overrightarrow{u}$ = $\overrightarrow{OA}$ như hình sau:

Ta thấy điểm A(2 ; 2) nên $\overrightarrow{OA}$ = (2 ; 2).

Suy ra $\overrightarrow{u}$ = (2 ; 2).

Vậy $\overrightarrow{u}$ = (2 ; 2).

Định lí: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu $\overrightarrow{u}$ = (a ; b)  thì $\overrightarrow{u}$ = a$\overrightarrow{i}$ + b$\overrightarrow{j}$. Ngược lại, nếu $\overrightarrow{u}$ = a$\overrightarrow{i}$ + b$\overrightarrow{j}$ thì $\overrightarrow{u}$ = (a ; b).

Chú ý: Với $\overrightarrow{a}$ = (x1 ; y1) và $\overrightarrow{b}$ = (x2 ; y2), ta có $\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{b}$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}{x}_1=x_2\\ y_1=y_2\end{array}\right.$ 

Như vậy, mỗi vectơ hoàn toàn được xác định khi biết tọa độ của nó.

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(2; 3) và vectơ $\overrightarrow{u}$ = (1; – 3).

a) Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{u}$ qua hai vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$.

b) Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{OM}$  qua hai vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$.

Hướng dẫn giải

a) Vì vectơ $\overrightarrow{u}$ = (1; – 3) nên $\overrightarrow{u}$ = 1$\overrightarrow{i}$ + (– 3)$\overrightarrow{j}$ = $\overrightarrow{i}$ – 3$\overrightarrow{j}$

Vậy $\overrightarrow{u}$ = $\overrightarrow{i}$ – 3$\overrightarrow{j}$

b) Vì điểm M có tọa độ là (2 ; 3) nên $\overrightarrow{OM}$ = (2 ; 3).

Do đó: $\overrightarrow{OM}$ = 2$\overrightarrow{i}$ + 3$\overrightarrow{j}$.

Vậy $\overrightarrow{OM}$ = 2$\overrightarrow{i}$ + 3$\overrightarrow{j}$.

III. Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB).

Ta có $\overrightarrow{AB}$  = (xB – xA ; yB – yA).

Ví dụ: Cho hai điểm A(2; –4) và B(1; 5). Hãy tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{AB}$ = (1 – 2; 5 – (–4)) = (–1 ; 9).

Vậy $\overrightarrow{AB}$ = (–1 ; 9).

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập tự luận

Bài 1. Cho 3 điểm A(0; 2), B(–1; 3), C(2; 5). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

Giả sử điểm D có tọa độ là (xD ; yD)

Ta có $\overrightarrow{AB}$ = (–1 – 0 ; 3 – 2) = (–1 ; 1)

$\overrightarrow{DC}$ = (2 – xD ; 5 – yD).

Để ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{DC}$.

$\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{DC}$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}-1=2-x_D\\ 1=5-y_D\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}{x}_D=3\\ y_D=4\end{array}\right.$

Suy ra điểm D có tọa độ là (3 ; 4).

Vậy để ABCD là hình bình hành thì D(3 ; 4).

Bài 2. Tìm số thực m và n sao cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ = (m; –4) và $\overrightarrow{b}$ = (–1; 3m + n) bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{b}$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}m=-1\\ -4=3m+n\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}m=-1\\ -4=3.(-1)+n\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}m=-1\\ n=-1\end{array}\right.$  

Vậy để $\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{b}$ thì m = –1 và n = –1.

Bài 3. Tìm tọa độ của các vectơ sau:

a) $\overrightarrow{a}$ = 3$\overrightarrow{i}$ + $\overrightarrow{j}$;

b) $\overrightarrow{b}$ = – 2$\overrightarrow{j}$;

c) $\overrightarrow{c}$ = $\overrightarrow{i}$ – $\sqrt{3}$$\overrightarrow{j}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\overrightarrow{a}$ = 3$\overrightarrow{i}$ + $\overrightarrow{j}$ = 3$\overrightarrow{i}$ + 1$\overrightarrow{j}$

Suy ra $\overrightarrow{a}$ = (3 ; 1).

Vậy $\overrightarrow{a}$ = (3 ; 1).

b) Ta có $\overrightarrow{b}$ = –2$\overrightarrow{j}$ = 0$\overrightarrow{i}$ + (–2)$\overrightarrow{j}$

Suy ra $\overrightarrow{b}$ = (0 ; –2).

Vậy $\overrightarrow{b}$ = (0 ; –2).

c) Ta có $\overrightarrow{c}$ = $\overrightarrow{i}$ – $\sqrt{3}$$\overrightarrow{j}$ = $\overrightarrow{i}$ + (– $\sqrt{3}$)$\overrightarrow{j}$.

Suy ra $\overrightarrow{c}$ = (1; – $\sqrt{3}$).

Vậy $\overrightarrow{c}$ = (1; – $\sqrt{3}$).

B.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Trong hệ tọa độ Oxy cho A(5; 2), B(10; 8). Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$.

A. $\overrightarrow{AB}$ = (15; 10);

B. $\overrightarrow{AB}$ = (2; 4);

C. $\overrightarrow{AB}$ = (5; 6);

D. $\overrightarrow{AB}$ = (50; 16).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (10 – 5 ; 8 – 2) = (5; 6).

Câu 2. Trong hệ tọa độ Oxy cho bốn điểm A(1; 1), B(2; – 1), C(4 ; 3), D (3 ; 5). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Tứ giác ABCD là hình bình hành ;                        

B. A, B, C, D trùng nhau ;

C. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD};$                                   

D. $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ cùng phương.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là : A

Ta có : $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=\left(1;-2\right)\\ \overrightarrow{DC}=\left(1;-2\right)\end{array}\right.$$\Rightarrow$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, do đó ABCD là hình bình hành.

Câu 3. Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(2a-1;-3\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(3;4b+1\right)$. Tìm các số thực a và b sao cho cặp vectơ đã cho bằng nhau:

A. a = 2, b = – 1;

B. a = – 1, b = 2;

C. a = – 1, b = – 2;

D. a = 2, b = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Để $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}\iff \left\{\begin{array}{l}2a-1=3\\ -3=4b+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2a=4\\ 4b=-4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-1\end{array}\right.$.

Vậy a = 2 và b = – 1.