Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì 2π.

B. Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì 2π.

C. Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì 2π.

D. Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì π.

Hàm số nào dưới đây có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng?

A. y = cos x.

B. y = sin³ x .

C. y = sin x.

D. y = tan x.

Khẳng định nào sau đây sai?

A. Tập xác định của hàm số y = tan x là 

B. Hàm số y = tan x đồng biến trên các khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$ với mọi k ∈ ℤ.

C. Tập giá trị của hàm số y = tan x là $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$.

D. Hàm số y = tan x là hàm số tuần hoàn với chu kì π.

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số y = cos x nghịch biến trên khoảng (– π; 0) và đồng biến khoảng (0; π).

B. Hàm số y = cos x đồng biến trên các khoảng (– π; 0) và (0; π).

C. Hàm số y = cos x nghịch biến trên các khoảng (– π; 0) và (0; π).

D. Hàm số y = cos x đồng biến trên khoảng (– π; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; π).

Tập xác định của hàm số $y=\sqrt{1-\cos x}$ là

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A. sin 2a = 2sin a cos a.

B. cos 2a = cos² a – sin² a.

C. cos 2a = 1 – 2sin² a.

D. tan 2a = $\frac{2\tan a}{1+{\tan }^{2}a}$.

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A. $\cos u+\cos v=2\cos \frac{u+v}{2}\cos \frac{u-v}{2}$.

B. $\cos u-\cos v=2\sin \frac{u+v}{2}\sin \frac{u-v}{2}$.

C. $\sin u+\sin v=2\sin \frac{u+v}{2}\cos \frac{u-v}{2}$.

D. $\sin u-\sin v=2\cos \frac{u+v}{2}\sin \frac{u-v}{2}$.

Biết cot x = $\frac{1}{2}$. Giá trị của biểu thức $\frac{4\sin x+5\cos x}{2\sin x-3\cos x}$ bằng

A. $\frac{1}{17}$.

B. $\frac{5}{9}$.

C. 13.

D. $\frac{2}{9}$.

Biết sin x = $\frac{1}{2}$. Giá trị của cos² x bằng

A. ${\cos }^{2}x=\frac{1}{2}$.

B. ${\cos }^{2}x=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

C. ${\cos }^{2}x=\frac{1}{4}$.

D. ${\cos }^{2}x=\frac{3}{4}$.

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A. sin(180° – a) = – cos a.

B. sin(180° – a) = – sin a.

C. sin(180° – a) = sin a.

D. sin(180° – a) = cos a.

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A. $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$.

B. $\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\cos x$.

C. $\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cot x$.

D. $\tan \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\cot x$.

Cho $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. sin α < 0; cos α > 0.

B. sin α > 0; cos α > 0.

C. sin α < 0; cos α < 0.

D. sin α > 0; cos α < 0. 

Giá trị $\cot \frac{89\pi }{6}$ bằng

A. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

B. $\sqrt{3}$.

C. $-\sqrt{3}$.

D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo α mà $\widehat{uOv}$ là góc tù. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Có số nguyên k để $\frac{\pi }{2}+k2\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}+k2\pi$.

B. $-\pi <\alpha <-\frac{\pi }{2}$.

C. $-\frac{\pi }{2}<\alpha \le \frac{3\pi }{2}$.

D. $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$.

Đổi số đo góc α = 105° sang rađian ta được

A. $\alpha =\frac{5\pi }{8}$.

B. $\alpha =\frac{\pi }{8}$.

C. $\alpha =\frac{7\pi }{12}$.

D. $\alpha =\frac{9\pi }{12}$.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép biến hình h biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M’(x; y), trong đó

Hãy chứng minh h là một phép dời hình.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các phép biến hình sau đây:

– Phép biến hình f biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M’(–x; –y);

– Phép biến hình g biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M’(2x; 2y).

Trong hai phép biến hình trên, phép nào là phép dời hình? Giải thích.

Cho phép dời hình f biến hình vuông ℋ có cạnh bằng 2 cm thành hình vuông ℋ ’. Tìm diện tích của ℋ ’.

Cho đường thẳng d cố định, xét phép biến hình f biến điểm M thuộc d thành chính nó và biến điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là trung trực của đoạn MM’. Hãy chứng minh f là một phép dời hình.

Cho đường thẳng d đi qua tâm O của đường tròn (C) và cắt (C) tại A và B. Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép chiếu vuông góc lên d.

Gọi A’B’C’D’ là ảnh của hình chữ nhật ABCD qua phép biến hình được diễn tả trong Vận dụng. Hãy cho biết A’B’C’D’ là hình gì. Giải thích.

Trong mỗi trường hợp dưới đây, cho f là một phép dời hình.

a) Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự (B nằm giữa A và C). Gọi A’, B’, C’ lần lượt là ảnh của A, B, C qua f (Hình 8a). Có nhận xét gì về vị trí tương đối của ba điểm A’, B’, C’?

b) Cho hai đường thẳng song song d₁ và d₂, lấy hai đoạn thẳng bằng nhau AB và DC lần lượt trên d₁ và d₂. Gọi ${d^{\text{'}}}_1,{d^{\text{'}}}_2$ lần lượt là ảnh của d₁, d₂ và A’, B’, C’, D’ lần lượt là ảnh của A, B, C, D qua f (Hình 8b). Tứ giác A’B’C’D’ là hình gì? Nêu nhận xét về vị trí tương đối của hai đường thẳng ${d^{\text{'}}}_1,{d^{\text{'}}}_2$ .

c) Cho A’B’C’ là ảnh của tam giác ABC qua f (Hình 8c).

So sánh ∆A’B’C’ và ∆ABC. So sánh số đo hai góc $\widehat{\mathrm{BAC}}$ và $\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ .

Một người đã vẽ xong bức tranh một con thiên nga đang bơi trên mặt hồ (đường thẳng d) (Hình 7a). Người đó muốn vẽ bóng của con thiên nga đó xuống mặt nước (như Hình 7b) bằng cách gấp tờ giấy theo đường thẳng d và đồ theo hình con thiên nga trên nửa tờ giấy còn lại. Chứng tỏ rằng đây là một phép dời hình.

Cho điểm O trong mặt phẳng. Ta định nghĩa một phép biến hình h như sau: Với mỗi điểm M khác O chọn M’ = h(M) sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM’ (Hình 6), còn với M trùng với O thì ta chọn O = h(M). Chứng minh h là một phép dời hình.

Khi một ô tô dời chỗ đậu từ vị trí M đến M’, khoảng cách giữa hai trục bánh xe có thay đổi không?

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ứng mỗi điểm M(x; y) quy tắc f xác định điểm M’(–3x; 3y). Hãy cho biết f có phải là phép biến hình không. Nếu có, tìm ảnh của điểm A(–1; 2) qua f.

Trong mặt phẳng, cho đường thẳng d và điểm M. Gọi M’ là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d.

Vẽ ba điểm A, B, C tùy ý và tìm hình chiếu vuông góc A’, B’, C’ của chúng trên d.

Bức tranh trang trí trong hình bên trước khi tô màu thực chất được tạo ra từ một hình mũi tên duy nhất và được dời chỗ tới các vị trí khác nhau. Hãy thảo luận để tìm hiểu về các phép biến đổi hình học nào đã tạo ra tất cả các hình mũi tên như vậy từ một hình mũi tên ban đầu.

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ t (ở đây t là số ngày tính từ ngày 1 tháng giêng) của một năm không nhuận được mô hình hóa bởi hàm số

$L\left(t\right)=12+\mathrm{2,83}\sin \left(\frac{2\pi }{365}\left(t-80\right)\right)$ với t ∈ ℤ và 0 < t ≤ 365.

a) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất?

b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất?

c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời?

Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5 m; trục của nó đặt cách mặt nước 2 m (hình bên). Khi guồng quay đều, khoảng cách h (mét) tính từ một chiếc gầu gắn tại điểm A trên guồng đến mặt nước là h = |y| trong đó

$y=2+\mathrm{2,5}\sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)$

với x là thời gian quay của guồng (x ≥ 0), tính bằng phút; ta quy ước rằng y > 0 khi gầu ở trên mặt nước và y < 0 khi gầu ở dưới mặt nước.

a) Khi nào chiếc gầu ở vị trí cao nhất? Thấp nhất?

b) Chiếc gầu cách mặt nước 2 mét lần đầu tiên khi nào?

Tìm các giá trị của x để giá trị tương ứng của các hàm số sau bằng nhau:

a) $y=\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$  và $y=\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ ;

b)  $y=\sin \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)$và $y=\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$ .

Giải các phương trình sau:

a) (2 + cos x)(3cos 2x – 1) = 0;

b) 2sin 2x – sin 4x = 0;

c) cos⁶ x – sin⁶ x = 0;

d) tan 2x cot x = 1. 

Giải các phương trình sau:

a) sin(2x + 15°) + cos(2x – 15°) = 0;

b) $\cos \left(2x+\frac{\pi }{5}\right)+\cos \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)=0$ ;

c) tan x + cot x = 0;

d) sin x + tan x = 0.

Giải các phương trình sau:

a) $2\sin \left(\frac{x}{3}+15°\right)+\sqrt{2}=0$ ;

b) $\cos \left(2x+\frac{\pi }{5}\right)=-1$ ;

c) 3tan 2x + $\sqrt{3}$  = 0;

d) cot (2x – 3) = cot 15°.

Hằng ngày, Mặt Trời chiếu sáng, bóng của một toà chung cư cao 40 m in trên mặt đất, độ dài bóng của toà nhà này được tính bằng công thức

ở đó S được tính bằng mét, còn t là số giờ tính từ 6 giờ sáng.

a) Tìm độ dài bóng của toà nhà tại các thời điểm 8 giờ sáng, 12 giờ trưa, 2 giờ chiều và 5 giờ 45 phút chiều.

b) Tại thời điểm nào thì độ dài bóng của toà nhà bằng chiều cao toà nhà?

c) Bóng toà nhà sẽ như thế nào khi thời gian tiến dần đến 6 giờ tối?

Một con lắc lò xo dao động điều hoà quanh vị trí cân bằng theo phương trình y = 25 sin 4πt ở đó y được tính bằng centimét còn thời gian t được tính bằng giây.

a) Tìm chu kì dao động của con lắc lò xo.

b) Tìm tần số dao động của con lắc, tức là số lần dao động trong một giây.

c) Tìm khoảng cách giữa điểm cao nhất và thấp nhất của con lắc.

Từ đồ thị hàm số y = sin x, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn   sao cho:

a) sin x = 0;                                       b) sin x > 0. 

Từ đồ thị hàm số y = cos x, hãy vẽ các đồ thị hàm số sau:

a) y = – cos x;

b) y = |cos x|;

c) y = cos x + 1;

d) $y=\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$ .

Với giá trị nào của x, mỗi đẳng thức sau đúng?

a) tan x cot x = 1;

b) 1 + tan² x = $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ ;

c) 1 + cot² x = $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ ;

d) tan x + cot x = $\frac{2}{\sin 2x}$ .

Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau:

a) y = A sin(ωx + φ) với A > 0;

b) y = A tan(ωx + φ) với A > 0;

c) y = 3 sin 2x + 3cos 2x; 

d) $y=3\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)+3\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ .