Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ có đồ thị là đường cong như Hình 12. Tìm $\underset{x\to 0^{+}}{lim}f\left(x\right),\underset{x\to 0^{-}}{lim}f\left(x\right)$

Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{3x-2}{x+1}$.

Xét hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{26x+10}{x+5}$ với $x\in [0;+\mathrm{\infty })$ có đồ thị là đường cong ở Hình 10 trong bài toán mở đầu. Tìm $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)$.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left(x\right)=\sin 2x-2x$ trên đoạn $\left[\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right]$.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=2x^3-6x,x\in \left[-2;2\right]$ có đồ thị là đường cong ở Hình 9.

a) Dựa vào đồ thị ở Hình 9, hãy cho biết các giá trị $M=\underset{\left[-2;2\right]}{max}f\left(x\right);m=\underset{\left[-2;2\right]}{min}f\left(x\right)$ bằng bao nhiêu.

b) Giải phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$ với $x\in \left(-2;2\right)$

c) Tính các giá trị của hàm số $f\left(x\right)$ tại hai đầu mút $-2;2$ và tại các điểm $x\in \left(-2;2\right)$ mà ở đó $f^{\prime }\left(x\right)=0$

d) So sánh M (hoặc m) với số lớn nhất (hoặc số bé nhất) trong các giá trị tính được ở câu c

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số $y=\frac{2x-5}{x-1}$ trên nửa khoảng $(1;3]$.

Cho hàm số $f\left(x\right)=x+\frac{1}{x-1}$ với $x>1$.

a) Tính $\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right),\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)$.

b) Lập bảng biến thiên của hàm số $f\left(x\right)$ trên khoảng $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$.

c) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số $f\left(x\right)$ trên khoảng $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$.

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{9-x^2}$ trên đoạn $\left[-3;3\right]$.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left[-1;1\right]$ và có đồ thị là đường cong ở Hình 8. Quan sát đồ thị và cho biết:

a) Điểm nào thuộc đồ thị hàm số có tung độ lớn nhất

b) Điểm nào thuộc đồ thị hàm số có tung độ nhỏ nhất

Kính viễn vọng không gian Hubble được đưa vào vũ trụ ngày 24/4/1990 bằng tàu con thoi Discovery. Vận tốc của tàu con thoi trong sứ mệnh này, từ lúc cất cánh tại thời điểm $t=0\left(s\right)$ cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi tại thời điểm $t=126\left(s\right)$, cho bởi hàm số sau:

$v\left(t\right)=0,001320t^3-0,09029t^2+23$.

(v được tính bằng ft/s, 1 feet = 0,3048 m)

Hỏi gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng trong khoảng thời gian nào tính từ thời điểm cất cánh cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi?

Thể tích V (đơn vị: centimet khối) của 1kg nước tại nhiệt độ T được tính bởi công thức sau:

Hỏi thể tích , giảm trong khoảng nhiệt độ nào?

Cho hai hàm số $y=f\left(x\right),y=g\left(x\right)$ có đồ thị hàm số lần lượt ở Hình 6a, Hình 6b. Nêu khoảng đồng biến, nghịch biến và điểm cực trị của mỗi hàm số đó.

Tìm cực trị của mỗi hàm số sau:

a) $y=2x^3+3x^2-36x-10$

b) $y=x^4+2x^2-3$

c) $y=x-\frac{1}{x}$

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số sau:

a) $y=-x^3+2x^2-3$ b) $y=x^4-2x^2+5$

c) $y=\frac{3x+1}{2-x}$ d) $y=\frac{x^2-2x}{x+1}$

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng:

a) $2$.

b) $3$.

c) $-4$.

d) $0$.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$.

B. $\left(-1;0\right)$.

C. $\left(-1;1\right)$.

D. $\left(0;1\right)$.

Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau:

a) $y=x^4-6x^2+8x+1$.

b) $y=\frac{3x+5}{x-1}$.

Quan sát bảng biến thiên dưới đây và cho biết:

a) $x_o$ có là điểm cực đại của hàm số $f\left(x\right)$ hay không.

b) $x_1$ có là điểm cực tiểu của hàm số $h\left(x\right)$ hay không.

Dựa vào đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=-x^3-3x^2+3$ ở Hình 3, hãy so sánh:

a) $f\left(-2\right)$ với mỗi giá trị $f\left(x\right)$, ở đó $x\in \left(-3;-1\right)$ và $x\ne -2$.

b) $f\left(0\right)$với mỗi giá trị $f\left(x\right)$, ở đó $x\in \left(-1;1\right)$ và $x\ne 0$.

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số sau $y=\frac{2x-1}{x+2}$.

a) Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $f\left(x\right)=x^3$.

b) Xét dấu của đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2$.

c) Phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$ có bao nhiêu nghiệm ?

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y=x^4+2x^2-3$.

Xét dấu $y^{\prime }$ rồi tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số$y=\frac{4}{3}{x}^3-2x^2+x-1$.

a) Nêu định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên tập $K\subset \mathbb{R}$, trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.

b) Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x^2$ có đồ thị như Hình 2.

- Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số đó.

- Xét dấu đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)=2x$.

- Nêu mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số $f\left(x\right)=x^2$ và dấu của đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)=2x$ trên mỗi khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right),\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

- Hoàn thành bảng biến thiên sau:

Điện trở R(Ω) của một đoạn dây dẫn hình trụ được làm từ vật liệu có điện trở suất ρ (Ωm), chiều dài ℓ (m) và tiết diện S (m2) được cho bởi công thức

(Vật lí 11 — Chân trời sáng tạo, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2023, trang 104)

Giả sử người ta khảo sát sự biến thiên của điện trở R theo tiết diện S (ở nhiệt độ 20 °C) của một sợi dây điện dài 10 m làm từ kim loại có điện trở suất ρ và thu được đồ thị hàm số như Hình 6.

a) Có nhận xét gì về sự biến thiên của điện trở R theo tiết điện S?

b) Từ đồ thị, hãy giải thích ý nghĩa của toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng R = 0,001.

c) Tính điện trở suất ρ của dây điện. Từ đó, hãy cho biết dây điện được làm bằng kim loại nào trong số các kim loại được cho ở bảng sau:

Trong một nhà hàng, mỗi tuần để chế biến x phần ăn (x lấy giá trị trong khoảng từ 30 đến 120) thì chi phí trung bình (đơn vị: nghìn đồng) của một phần ăn được cho bởi công thức:

$\overline{C}\left(x\right)=2x-230+\frac{7200}{x}$

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y=\overline{C}\left(x\right)$ trên [30; 120].

b) Từ kết quả trên, tìm số phần ăn sao cho chi phí trung bình của một phần ăn là thấp nhất.

Cho một hình trụ nội tiếp trong hình nón có chiều cao bằng 12 cm và bán kính đáy bằng 5 cm (Hình 4a). Người ta cắt hình nón, trụ này theo mặt phẳng chứa đường thẳng nối đỉnh và tâm hình tròn đáy của hình nón thì thu được một hình phẳng như Hình 4b.

a) Chứng minh rằng công thức tính bán kính r của đáy hình trụ theo chiều cao h của nó là: $r=\frac{5\left(12-h\right)}{12}$.

b) Chứng minh biểu thức sau biểu thị thể tích khối trụ theo h: $V\left(h\right)=\frac{25\pi h{\left(12-h\right)}^2}{144}$.

c) Tìm h để khối trụ có thể tích lớn nhất.

Cho hàm số $y=\frac{x^2+4x-1}{x-1}$.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [2; 4].

Cho hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Gọi A là giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy, I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Tìm điểm B đối xứng với A qua I. Chứng minh rằng điểm B cũng thuộc đồ thị hàm số này.

Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-x^2+4$.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như Hình 3. Viết công thức của hàm số.

Tìm hai số không âm a và b có tổng bằng 10 sao cho:

a) Biểu thức ab đạt giá trị lớn nhất;

b) Tổng các bình phương của chúng đạt giá trị nhỏ nhất;

c) Biểu thức ab2 đạt giá trị lớn nhất.

Cho hàm số $y=\frac{-2x-3}{4-x}$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Hàm số đồng biến trên (– ∞; – 4) và nghịch biến trên (– 4; + ∞).

B. Hàm số đồng biến trên (– ∞; 4) và (4; + ∞).

C. Hàm số nghịch biến trên (– ∞; 4) và (4; + ∞).

D. Hàm số nghịch biến trên (– ∞; – 4) và (– 4; + ∞).

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{-2x+3}{5x+1}$ là đường thẳng có phương trình

A. $y=-\frac{1}{5}$.

B. $x=-\frac{1}{5}$.

C. $y=-\frac{2}{5}$.

D. $x=-\frac{2}{5}$.

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\frac{2x^3+3x^2-3}{x^2-1}$ là đường thẳng có phương trình

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{x^2+2x+3}$ trên đoạn [– 2; 3] là

A. $\sqrt{3}$.

B. $\sqrt{30}$.

C. $\sqrt{2}$.

D. 0.

Đạo hàm của hàm số y = f(x) là hàm số có đồ thị được cho trong Hình 2. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng

A. (– 1; 3).

B. (– 3; 1).

C. (1; 5).

D. (3; + ∞).

Cho hàm số $y=\frac{x^2-4x+1}{x-4}$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, giá trị cực tiểu là y = 2.

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 5, giá trị cực tiểu là y = 6.

C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, giá trị cực tiểu là y = 6.

D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 5, giá trị cực tiểu là y = 2.

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như Hình 1.

Hàm số đạt cực đại tại

A. x = 0.

B. x = 3.

C. x = 4.

D. x = 5.